Ein rechtwinkliges Dreieck hat den Flächeninhalt 80cm^2 ...

Question

Ich sitze jetzt schon gute 3 Stunden an meinen Aufgaben in Mathe und bin nun bei den Textaufgaben komplett überfordert. Es geht um gemischt quadratische Gleichungen.

1.ein rechtwinkliges Dreieck hat den Flächeninhalt 80cm², die eine Kathete ist 12cm kürzer als die andere. Wie lang ist die Hypotenuse?

2. die eine Seite eines Rechtecks ist um 10cm kürzer als die andere, die diagonale ist 50cm lang. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks?

Jetzt muss man Gleichungen aufstellen und das gerade kann ich nicht

Answer 1

1)

Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b ist

A = a * b / 2

Es gilt also in dem betrachteten Dreieck:

a * b / 2 = 80

a = 160 / b

Sei a die kürzere der beiden Katheten, dann gilt außerdem:

a + 12 = b

[wegen a = 160 / b gilt daher:]

<=> ( 160 / b ) + 12 = b

<=> 160 + 12 b = b ² 

<=> b ² - 12 b =  160

<=> b ² - 12 b + 36 = 196

<=> ( b - 6 ) ² = 196

<=> b - 6 = √ 196 = 14

<=> b = 20

Einsetzen in a + 12 = b ergibt:

a = b - 12 = 20 - 12 = 8

also ist die kürzere Seite a = 8 cm und die längere Seite b = 20 cm lang.

Für die Hypotenuse c gilt nach Pythagoras:

c = √ ( a ² + b ² )

= √ ( 64+ 400 )

= 21,54 cm

 

2)

Sei a wieder die kürzere Seite, dann gilt:

a + 10 = b

Die Diagonale eines Rechteccks ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Seiten a und b  des Dreiecks sind. Nach Pythagoras gilt also:

c  = √ ( a ² + b ² ) = 50

<=> a ² + b ² = 2500

Wegen b = a + 10 :

<=> a ² + ( a + 10 ) ² = 2500

<=> a ² + a ² + 20 a + 100 = 2500

<=> 2 a ² + 20 a  = 2400

<=> a ² + 10 a = 1200

<=> a ² + 10 a + 25 = 1225

<=> ( a + 5 ) ² = 1225

<=> a + 5 = √ 1225 = 35

<=> a = 30

=> b = a + 10 = 40

Die Seite a des Rechtecks ist also 30 cm lang, die Seite b ist 40 cm lang.

Answer 2

Hi,

Für ein rechtwinkliges Dreieck gilt:

A = 80 = 1/2*a*b (wobei a und b Katheten sind)

a = 12+b

 

Letzteres oben einsetzen:

80 = 1/2*(12+b)*b

80 = 6b+1/2b^2    |-80, *2

b^2 + 12b - 160 = 0  |pq-Formel

b₁ = -20

b₂ = 8

 

Ersteres mach natürlich keinen Sinn -> Die eine Kathete ist 8cm lang, die andere 20 cm.

Die Hypotenuse:

c = √(a ² + b ²)

= √(64+400) cm

= 21,54 cm

 

2. die eine Seite eines Rechtecks ist um 10cm kürzer als die andere, die diagonale ist 50cm lang. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks?

a = b+10

Für die Diagonale den Pythagoras bemühen

50^2 = a^2+b^2

Ersteres in letzteres eingesetzt

50^2 = (b+10)^2 + b^2

50^2 = b^2 + 20b + 100 + b^2   |-2500, :2

b^2 + 10b - 1200 = 0   

b₁ =  -30

b₂ = 40

 

Ersteres ist wieder Unsinn. Deswegen verbleibt, dass eine Seite 40cm lang ist und die andere 40-10 cm = 30 cm lang.

Grüße

Answer 3

hallo

1)

1/2 ab = 80
a = b - 12

1/2 (b - 12)b = 80
b = 20
a = 8

c = √(64 + 400)
c = 21.54

2)

a = b - 10
a^2 + b^2 = 50^2
(b - 10)^2 + b^2 = 50^2
b^2 - 20b + 100 + b^2 = 2500
2b^2 - 20b = 2400
b = 40
a = 30

oops ... ein paar zahlen musste ich noch glätten :D

und ein wenig aufrunden :-)

Comments

Huhu gorgar.

Zu viel Bier? :D

https://www.mathelounge.de/78866/poste-dein-bestes-foto-gewinne-eins-begehrten-mathevideo-abos

 

Im ersten Fall:

1/2 (b - 12)b = 80
1/2 b² - 12b = 80

 

Im zweiten Fall:

(b - 10)² + b² = 50²
b² - 100 + b² = 2500   -> Binomi!

 

Grüßle

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Kuckuck Unknown!

Bier?! Gute Idee, mal ein eiskaltes vom Kiosk holen!  Nee, das kommt davon, wenn ich im Notepad rechne, daran konnte ich mich bis heute nicht gewöhnen. Da will ich Zeit sparen, brauche dann aber im Endeffekt doppelt so lange, weil ich hinterher Fehler ausmerzen muss. :P

So, erstmal zum Kiosk latschen .. kann ja nur noch besser werden. :-)

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Bevor Du zum Kiosk schlappst (das brauchste unbedingt Oo! :D) ändere noch schnell a = 30 im zweiten Teil. Hier haben wir eine Differenz von 10 cm der Seiten und nicht 12 cm wie bei Aufgabe 1 :P.

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Ähömm, hüstel! Alles klar, habe aufgerundet! Danke für den Hinweis!

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Jetzt haste Dir den Gang zum Kiosk wahrlich verdient :D.


Kein Ding ;).

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Stimmt! Nach dieser Wahnsinnsleistung darf ich mir eine Belohnung gönnen!

Also dann mal prösterchen!

Jetzt bin ich bereit für die Weltformel.

:-)