Beweis von linear unabhängigen Eigenvektoren

Question

Aufgabe:

Es sei eine Matrix \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) mit Eigenvektoren \( v, w \) gegeben, so dass gilt: \( A v=\lambda v, A w=\mu w \), wobei \( \mu \neq \lambda \). Beweisen Sie, dass \( v \) und \( w \) linear unabhängig sind.

Problem/Ansatz:

ich bräuchte bitte bei dieser Aufgabe Hilfe, da ich leider nicht weiter weiß.

Liebe Grüße Linda

Answer 1

zwei Vektoren sind lin. unabh. wenn aus

x*v + y*w = 0  folgt x=y=0.

Seien also x,y aus R mit  x*v + y*w = 0    #

==>    A*(x*v + y*w )= A*0 = 0

==>  A*x*v + A*y*w = 0

==>   x* A*v  + y * A*w = 0   da es Eigenvektoren sind also:

==>  x*λ*v + y*μ*w = 0   ##

und wegen #  haben wir ja auch  x*v + y*w = 0   #

Nun sind ja λ und μ verschieden, also ist mindestens einer

davon nicht 0 , sagen wir mal λ und ich multipliziere #

mit λ und habe     λ*x*v + λ*y*w = 0   ###

Nun kann ich ## und ### gleichsetzen

         y*μ*w = λ*y*w  und umformen zu

<=>     y*μ*w - λ*y*w = 0

<=>    y*(μ- λ) *w)  = 0

Nun ist w als Eigenvektor nicht der Nullvektor

und μ- λ ≠ 0, da beide verschieden, also folgt y=0 .

Und mit # dann sofort ( v ist nat. auch nicht der Nullvektor.)

         x=0. Also  v,w lin. unabh.