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Aufgabe:

Berechnen Sie folgendes Integral :

\( \int \limits_{M} x^{2}+y^{2}-x d(x, y) \) mit \( M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 4, x \leq 0\right. \) und \( \left.y \leq 0\right\} \)


Problem/Ansatz:

Kann mir jemand dabei helfen?

Ich wüsste nicht, wie ich die Menge einbeziehen kann/soll.

Danke

vor von

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Aloha :)

Ich würde hier zu Polarkoordinaten raten:$$\binom{x}{y}=\binom{r\,\cos\varphi}{r\,\sin\varphi}\quad;\quad d(x,y)=r\,dr\,d\varphi$$Wegen \(x^2+y^2=(r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi)=r^2\stackrel{!}\le{4}\) ist \(r\in[0;2]\). Wegen \(x\le0\) und \(y\le0\) befinden wir uns im 3-ten Quadranten des Koordinatensystems, also \(\varphi\in\left[\pi\big|\frac{3\pi}{2}\right]\).

Damit lautet das Integral:$$I=\int\limits_M(x^2+y^2-x)\,d(x,y)=\int\limits_0^2r\,dr\int\limits_\pi^{\frac{3\pi}{2}}d\varphi(r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi-r\cos\varphi)$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^2r\,dr\int\limits_\pi^{\frac{3\pi}{2}}d\varphi(r^2-r\cos\varphi)=\int\limits_0^2r^2\,dr\int\limits_\pi^{\frac{3\pi}{2}}d\varphi(r-\cos\varphi)$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^2r^2\,dr\left[r\varphi-\sin\varphi\right]_\pi^{\frac{3\pi}{2}}=\int\limits_0^2r^2\,dr\left[\left(\frac{3\pi}{2}r+1\right)-\left(\pi\,r+0\right)\right]_\pi^{\frac{3\pi}{2}}$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^2r^2\,dr\left(\frac{\pi}{2}\,r+1\right)=\int\limits_0^2\left(\frac{\pi}{2}\,r^3+r^2\right)\,dr=\left[\frac{\pi}{8}\,r^4+\frac{r^3}{3}\right]_0^2=2\pi+\frac{8}{3}$$

vor von 62 k 🚀

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