Aloha :)
Die Abbildung \(f\) bildet ein Polynom von Grad 2 auf ein Polynom vom Grad 1 ab:$$a_0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2\;\stackrel{f}{\mapsto}\;(a_0+a_1)+(2a_1+a_2)\cdot x$$Schreiben wir das in Vektorschreibweise mit den Standardbasen \((1,x,x^2)\) für Polynome vom Grad 2 und \((1,x)\) für Polynome vom Grad 1, bekommen wir:$$\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}\stackrel{f}{\mapsto}\binom{1}{x}\cdot\binom{a_0+a_1}{2a_1+a_2}$$Damit können wir für die Abbildung \(f\) eine Abbildungsmatrix \(\mathbf F\) angeben:
$$\mathbf F\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}=\binom{a_0+a_1}{2a_1+a_2}=\binom{1}{0}a_0+\binom{1}{2}a_1+\binom{0}{1}a_2=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}$$$$\implies\quad\mathbf F=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 2 & 1\end{pmatrix}$$Damit ist die Abbildung \(f\) automatisch linear, weil für Matrizen die Lineariät und Homogenität gilt:$$\mathbf F\cdot(\vec x_1+\vec x_2)=\mathbf F\cdot\vec x_1+\mathbf F\cdot\vec x_2\quad;\quad \mathbf F\cdot(\alpha\cdot \vec x)=\alpha\cdot(\mathbf F\cdot\vec x)\;\text{ mit }\alpha\in\mathbb R$$Das Bild der Matrix sind alle Polynome vom Grad 1, weil offensichtlich$$\operatorname{Bild}(\mathbf F)=\left(\,\binom{1}{0}\,;\,\binom{0}{1}\,\right)$$Den Kern der Abbildung können wir auch direkt aus der Matrix \(\mathbf F\) ablesen:
$$\begin{array}{rrr|r|l}a_0 & a_1 & a_2 & = & \text{bedeutet}\\\hline1 & 1 & 0 & 0 & a_0=-a_1\\0 & 2 & 1 & 0 &a_2=-2a_1\end{array}$$Der Kern enthält also alle Vektoren mit
$$\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a_1\\a_1\\-2a_1\end{pmatrix}=a_1\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}$$Als Basis des Kerns können wir daher z.B. angeben:$$\text{Kern}(\mathbf F)=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$$
