Berechnen Sie den Abstand der Punkte A und B sowie die Sandmenge, die als Untergrund der Halfpipe benötigt wird.

Question

Aufgabe:Halfpipe
Skalboarder führen Wettbewerbe in der sogenannten Halfpipe durch. Für eine Showveranstaltung wird eine 5m breite Halfpipe mit dem abgebildeten Querschnitt benutzt.Sie ist aus Stahl, der auf einem Sandbett aufliegt (1 Einheit = 1m).
a) Das Profil der Halfpipe kann durch eine symmetrische ganzrationale Funktion 4. Grades beschrieben werden. Stellen Sie die Funktionsgleichung auf.
b) Berechnen Sie den Abstand der Punkte A und B sowie die Sandmenge, die als Untergrund der Halfpipe benötigt wird.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht weiter bei der Aufgabe und habe nun etwas Zeitdruck.

Also erstmal muss ich einfach die Funktion 4. Grades aufstellen, das sollte ich hinbekommen. Allerdings habe ich bei Aufgabe b) Probleme.

Ich wäre für Hilfe sehr dankbar!

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Gerne auch mit Rechenweg, oder die Schritte, die ich machen soll :)

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Man kann bereist ab Graphen erkennen das die Form irgendwas mit

y = -ax^4 + bx^2 +1 sein müsste.

Wenn man jetzt zur Hilfe nehmen darf das die Halfpipe bei (3 | 4) einen Hochpunkt hat dann könnte ich die Funktion ermitteln.

Allerdings wäre der Hochpunkt aus der Skizze eher geraten und man sollte solche Annahmen auch normal nicht treffen solange sie nicht angegeben sind. Hast du irgendwelche Angaben verschwiegen?

~plot~ -1/27x^4+2/3x^2+1;[[-5|5|0|7]] ~plot~

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Achso okay ich hatte dann wohl ein Vorzeichenfehler.

Mehr Informationen gibt es zu der Aufgabe nicht, aber der Hochpunkt liegt ziemlich genau auf der genannten Stelle und ist auch eingezeichnet.

Auf dem Bild sieht man das nur schlecht.

Also werde ich die Funktion nochmal neu bestimmen mit dem Punkt A (0|1) und dem Hochpunkt (3|4).

Danke!

Answer 1

A und B sind die Nullstellen deiner aufgestellten Funktion.

Um die Sandmenge zu bestimmen bestimmst du zunächst mit dem Integral die Querschnittsfläche die von der Funktion mit der x-Achse gebildet wird.

Sollte nicht so schwer sein.

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Okay, vielen Dank!

Ich habe erstmal versucht a) zu lösen, allerdings glaube ich dass die Funktionsgleichung so nicht stimmt.

f(x) = (1/9)x^4 - (2/3)x^2 + 1

Kann mir da jemand helfen?

Und muss ich die Nullstellen dann mit dieser Funktionsgleichung (4. Grades) ausrechnen oder eine neue von dem Querschnitt aufstellen?

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Man kann bereist ab Graphen erkennen das die Form irgendwas mit

y = -ax^4 + bx^2 +1 sein müsste.

Wenn man jetzt zur Hilfe nehmen darf das die Halfpipe bei (3 | 4) einen Hochpunkt hat dann könnte ich die Funktion ermitteln.

Allerdings wäre der Hochpunkt aus der Skizze eher geraten und man sollte solche Annahmen auch normal nicht treffen solange sie nicht angegeben sind. Hast du irgendwelche Angaben verschwiegen?

~plot~ -1/27x^4+2/3x^2+1;[[-5|5|0|7]] ~plot~

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Wie ist man denn darauf gekommen dass a = 1/27 ist? Für b habe ich -2/3 raus und für c 1.

Anscheindend ist aber b auch positiv?!

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wie lauten deine bedingungen und dein Gleichungssystem?

Ach ich sehe das georgborn das schon übernommen hat. Sind damit Probleme geklärt?

Answer 2

In der bewährten Kurznotation
f ( 0 ) = 1
f ´( 0) = 0
f ( 3 ) = 4
f ´( 3 ) = 0
f ( -3 ) = 4
f ´( -3 ) = 0

Gleichungssystem aufstellen
oder
bruenner
f(x) = -1/27·x^4 + 2/3·x^2 + 1
Abstand zwischen A und B = 8 m

Stammfunktion bilden
S ( x ) = -1/27·x^5 / 5  + 2/3·x^3 / 3  +  x

rechte Seite
Das integral zwischen 0 und 4 bilden.
dann mal 2
dann mal 5 ( breite )

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Dankesehr! Das hat mir geholfen, ich habe jetzt 111m^3 raus für das Sandbett.

Allerdings komme ich bei a und b immernoch auf -1/9 und -2/3 .

Ich habe da jetzt einfach vermerkt dass das falsch sein muss und habe mit der richtigen Funktion weiterggerechnet.

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nicht
Abstand zwischen A und B = 8 m
( Ablesefehler )
sondern
Abstand zwischen A und B = 8.8 m


Stammfunktion bilden
S ( x ) = -1/27·x^5 / 5  + 2/3·x^3 / 3  +  x

rechte Seite
Das integral zwischen 0 und 4.4 bilden.
11.11 m^2
dann mal 2 =22.22 m^2
dann mal 5 m Breite
111 m^3

Allerdings komme ich bei a und b
immer noch auf -1/9 und -2/3 .
Wie diese Zahlen zustandekommen und
was sie bedeuten weiß ich allerdings nicht.