Eigenwerte mit komplexer Zahl

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Eigenwerte von $A=\begin {pmatrix} 1 & i \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Ist diese Matrix diagonalisierbar?

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider überhaupt nicht wie ich anfangen soll. Ich würde als erstes die Determinante ausrechen, also steht da det(A-λ*Id)=(1-λ)*(1-λ)-i. D.h. ich müsste (1-λ)*(1-λ)=i nach λ auflösen, aber daran scheiter ich leider schon und kann nicht weiter rechnen.

Zur Diagonalisierbarkeit: Kann ich einfach sagen, dass diese Matrix nicht diagonalisierbar ist, obwohl sie symmetrisch ist, da der Satz nur für reelle und nicht die komplexen Zahlen gilt?

Answer 1

ich müsste (1-λ)*(1-λ)=i nach λ auflösen

Genau, also kurz   (1-λ)²  =i

Dazu brauchst du die beiden Wurzeln aus i

(1+i)/√2    und     - (1+i)/√2 .

und bekommst  λ = 1 ±  (1+i)/√2 also

λ = (2 +  √2 + i√2 ) /2   und    λ = (2 -  √2 - i√2 ) /2

also diagonalisierbar.

siehe auch https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=911fd1d5ae12712f1c1…

Answer 2

Hallo, du musst an die Eigenwerte $\lambda$ rankommen. Zunächst gilt doch der Zusammenhang:

$v\in \mathbb{K}^n\setminus{\{0\}}$ Eigenvektor von $A\in \mathbb{K}^{n\times n}$ mit Eigenwert $\lambda\in \mathbb{K}\\\Leftrightarrow A\cdot v=\lambda\cdot v\\\Leftrightarrow A\cdot v-\lambda\cdot v=0\\\Leftrightarrow (A-\lambda\cdot I_n)\cdot v=0\\\Leftrightarrow v\in \operatorname{Ker}(A-\lambda\cdot I_n)\\\stackrel{v\neq 0}{\Leftrightarrow} \operatorname{Ker}(A-\lambda\cdot I_n)\neq \{0\}\\\Leftrightarrow A-\lambda\cdot I_n \text{ nicht injektiv}\\\Leftrightarrow A-\lambda\cdot I_n \text{ nicht invertierbar}\\\Leftrightarrow \det(A-\lambda\cdot I_n)=0$

Du musst also nun $0=\underbrace{\det(A-\lambda\cdot I_n)}_{\text{char. Polynom}}$ betrachten. Damit bekommst du die Eigenwerte deiner Matrix $A$. Das sind die Nullstellen vom char. Polynom. Und da Eigenwerte per Definition mindestens einen Eigenvektor $v$ haben, musst du nun für jeden Eigenwert $\lambda$ dir die vierte Äquivalenzumformung anschauen: $(A-\lambda\cdot I_n)\cdot v=0$, d.h. pro Eigenwert ein lineares Gleichungssystem lösen, um an $v$ heranzukommen, welcher wie du sehen wirst nicht eindeutig sein wird.

obwohl sie symmetrisch ist, da der Satz nur für reelle und nicht die komplexen Zahlen gilt?

Nein. Dein $A$ ist nicht symmetrisch, da $A\neq A^T$.

Sind diese Eigenvektoren Basis von $\mathbb{K}^n$, dann ist $A$ diagonalisierbar. Die Umkehrung gilt ebenfalls.