Wie groß ist die Verkaufsmenge q1, wenn die Preise p1 und p2 so gewählt werden, dass maximaler Gewinn erzielt wird?

Question

Ein Monopolunternehmen bietet zwei Güter A und B zu den (veränderbaren) Preisen p1   (Gut  A) und p2   (Gut  B) an. Die Nachfrage nach diesen beiden Gütern wird durch die beiden Nachfragefunktionen
q1 ( p1 , p2 ) = 54-28 p1 +4 p2 ,

q2 ( p1 , p2 ) = 75+5 p1 -9 p2

bestimmt, wobei q1 die Nachfrage nach Gut A und q2 die Nachfrage nach Gut B beschreibt. Die Herstellungskosten für die beiden Güter betragen pro Stück 2 GE (Gut  A) und 2 GE (Gut  B). Es gibt ein eindeutig bestimmtes Paar ( p1 , p2 ) von Preisen für die beiden Güter A und B, sodass das Unternehmen maximalen Gewinn erzielt.
Wie groß ist die Verkaufsmenge q1 ( p1 , p2 ), wenn die Preise p1 und p2 so gewählt werden, dass maximaler Gewinn erzielt wird?

Danke Danke

Comments

  leider kann ich dir keine Lösung bieten, aber vielleicht sind ein
paar interessante Überlegungen bei meinen Berechnungen.

  Dadurch das die Herstellungskosten gleich sind, gehen diese in die
Berechnungen nicht ein. Ebenfalls wird davon ausgegangen das der
Gewinnanteil vom Verkaufspreis bei beiden Gütern gleich ist.
  Von nun an : rein mathematisch

  q1 ( p1 , p2 ) = 54 - 28 * p1 + 4 * p2
  q2 ( p1 , p2 ) = 75 + 5 * p1 - 9 * p2

  U  = erzielter Umsatz
  U = Nachfrage nach Gut A * Preis Gut A +
         Nachfrage nach Gut B * Preis Gut B
  U = q1 * p1 + q2 * p2
  U = ( 54 - 28 * p1 + 4 * p2 ) * p1 + ( 75 + 5 * p1 - 9 * p2 ) * p2

  U ( p1,p2 ). 2 Unbekannte : keine eindeutige Lösung.
  Gefragt ist vielleicht zunächst nur nach dem Verhältnis von p1/p2 ( Paar ).
  p1/p2 = x -> p1 = p2 * x
dann in U  p1 ersetzen durch x * p2
  Gefragt ist nach max Umsatz. Also 1.Ableitung U ´bilden und null setzen.
  ( Matheprogramm genutzt )
  x ( Extrem ) = ( 9 * p2 + 54 ) / ( 56 *p2)

  p1 = p2 * x
  p1 = 9 / 56 * p2 + 27/28
  p1 = 0.16 * p2 + 0.964
  p1 ist also von p2 abhängig. Ein festes Verhältnis p1/p2 dürfte es hiernach
nicht geben.

  Die weiteren Fragen kann ich nicht beantworten.
Vielleicht findet jemand eine Lösung.
Ich wäre sehr erfreut hier davon zu hören.

  mfg Georg

Answer 1

Gewinn = Erlös - Kosten

G = q1·p1 + q2·p2 - q1·2 - q2·2

G = q1·(p1 - 2) + q2·(p2 - 2)

G = (54 - 28·p1 + 4·p2) * (p1 - 2) + (75 + 5·p1 - 9·p2) * (p2 - 2)

Ich ersetze mal z = G, x = p1, y = p2

z = (54 - 28·x + 4·y) * (x - 2) + (75 + 5·x - 9·y) * (y - 2)

z = (- 28·x^2 + 4·x·y + 110·x - 8·y - 108) + (5·x·y - 10·x - 9·y^2 + 93·y - 150)

z = - 28·x^2 + 9·x·y + 100·x - 9·y^2 + 85·y - 258

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z+%3D+-+28·x%5E2+%2B+9·x·y+%2B+100·x+-+9·y%5E2+%2B+85·y+-+258

Maximum G = 139.843 bei p1 = 2.76699 und p2 = 6.10572

q1 = 54 - 28·p1 + 4·p2 = 54 - 28·2.76699 + 4·6.10572 = 0.94716

Comments

@mathecoach,

  der Clou ist wohl zu erkennen, dass das Maximum mit Hilfe der
partiellen Differentiation bestimmt werden kann.

 @allgemein, da  ich kein Kaufmann bin :
q1 = 0.94716 ( Stück  )
q2 = 33.88  ( Stück )
Ist dies kaufmännisch sinnvoll ?

  mfg Georg

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Kaufmännisch sinnvoll wären wohl gerundet q1 = 1 und q2 = 34.

Das würde man im Antwortsatz auch so schreiben. Ich habe ja lediglich die Rechnung angegeben.

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Lösungsweg ist super danke!!! :)

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Wie hast du das gefunden ? Kannst du mirerzählen?

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Was meinst du genau ? Bist du nicht in der Lage die Klammern aufzulösen und die Summanden zusammenzufassen?

Wenn du es nicht kannst, dann nimm einen Rechenknecht wie Wolframalpha oder jeden handelsüblichen CAS Taschenrechner. Inzwischen gibt es auch schon ein paar Apps, die das können.

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@mathecoach

Wie kommen sie durch Wolframalpha auf den maximalen Gewinn bei p1 und p2?#

Danke

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Du meinst wie Wolframalpha darauf kommt ?

Man sollte hier die partiellen Ableitungen gleich Null setzen und das Gleichungssystem dann lösen.