Hallo,
sei Also T=p+U mit einem Untervektorraum von V; dann gilt:
(i) Sei x=p+u, y=p+v in T, dann ist die Verbindungsgerade:
G : x+s(y−x)=p+(u+s(v−u)),s∈K
Weil u+s(v-u) wieder in U liegt, liegen alle Punkte von G in T.
(ii) Sei G die Gerade durch y,z aus T:
G : y+s(z−y)=p+v+s(p+w−p−v)s,∈K
Dann ist für x=p+u in T die parallele Gerade gegeben durch
G′ : p+u+s(w−v),s∈K
und liegt ebenfalls in T.
Umgekehrt sei p∈T und T erfüllt (i9 und (ii). Dann definiert man
U : ={u∈V∣p+u∈T}
und zeigt, dass dies ein Unterraum ist. Sei also u,v∈U. Dann gilt nach (i):
p∈T,p+u∈T⇒p+su∈T fu¨r s∈K
Also liegt insbesondere su in U. Mit (ii) folgt.
(G : p+su,s∈K)⊆T,p+v∈T⇒(G′ : p+v+su,s∈K)⊆T
Also liegt insbesondere u+v in U.
Gruß Mathhilf