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Aufgabe:

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte

A(1;2;1), B(-1;2;3) und C (-5;2;7) sowie der Verktor

v=(2,-1,2) gegeben ( Vektor eig untereinader geschrieben)

1) Eine Gerade verläuft durch die Punkte A und B, eine Gerade h verläuft du den Punkt C und hat den Richtungsvektor v

a) Gebe die Gleichung für g und h an

b) g und h schneiden sich in einem Punkt S. Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S

c) Zeige dass die Gerade g und h senkrecht zueinander sind

2) Die Gerade g jnd h spannen eine Ebene E auf

a) Geben sie für diese Ebene eine Gleichung un Parameterform an und bestimme die Gleichung dieser Ebene E in Koordinatenform

3) Die Punkte A,B und D(3;-1;2) sind die Eckpunkte der Grundfläche einer geraden dreiseitigen Pyramide mit der Spitze Q (4;1;6)

a) Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhalts der Grundfläche ABD Pyramide und die Größe des Innenwinkels Alpha am Eckpunkt A

b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes der Seite [AB]

c) Der Scherpunkt in Dreieck ABD hat die Koordinaten Ps(1;1;2) Zeige rechnerisch das der Punkt Ps zur Spitze Q den Abstand d=5 LE besitzt

von

Schwerpunkt  ( 3c)

Erklärung zu Aufgabe 3 a und b

Vom Duplikat:

Titel: Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S.

Stichworte: schnittpunkte,koordinaten,bestimmen

Aufgabe:

Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S.

g: x = \( \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \) + s * \( \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} \)

h: x = \( \begin{pmatrix} -5\\2\\7 \end{pmatrix} \) + t * \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Wird der Schnittpunkt mit einem Gleichungssytem gelöst?

Und wie macht man dass bzw. was sind die Schritte?

Antwortversuch

Titel: Wie lautet die Parameterform?

Stichworte: parameterform,vektoren,ebene,ebenengleichung

Aufgabe:

Punkte:

A (1:2:1)

B (-1:2:3)

C (-5:2:7)

Die Geraden g und h spannen eine Ebene auf.

g: x = \( \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \) + s * \( \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} \)

h: x =\( \begin{pmatrix} -5\\2\\7 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix}\)

Geben Sie für diese Ebene eine Gleichung in Parameterform an und bestimmen Sie eine Gleichung dieser Ebene E in Koordinatenform.


Problem/Ansatz:

Lautet die Parameterform:

E: x = \( \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \) + λ * \( \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} \) + μ * \( \begin{pmatrix} -6\\0\\6 \end{pmatrix} \)

Nö, ich würde die Richtungsvektoren beider Geraden nehmen.

Schade. Hast du dasselbe jetzt nochmals unter einem andern Usernamen gefragt?

Wenn nicht, bitte zusammenarbeiten mit denen, die bereits an der gleichen Frage sitzen.

Wie wird der Innenwinkel am Eckpunkt berechnet?

9 Antworten

+1 Daumen

Hallo,

1) Eine Gerade verläuft durch die Punkte A und B

Weißt du nicht, wie man eine Geradegleichung aufstellt, wenn zwei Punkte gegeben sind?

eine Gerade h verläuft du den Punkt C und hat den Richtungsvektor v

Punkt und Richtungsvektor sind gegeben. Was bereitet dir an der Geradengleichung noch Schwierigkeiten?

b) g und h schneiden sich in einem Punkt S. Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S

Setzte g = h und löse das Gleichungssystem

c) Zeige dass die Gerade g und h senkrecht zueinander sind

Zwei Geraden sind senkrecht zueinander, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren null ist.

Gruß, Silvia



von 21 k

Das hab ich auch schon

Geht mehr um Aufgabe 3 c

Den Abstand zwischen bei Punkten A und B kannst du mir folgender Formel berechnen:

\(d(A;B)=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\)

Du nimmst hier also die Koordinaten von S und Ps.

Kann ich noch bei 3 a Hilfe bekommen

Den Flächeninhalt eines Dreieck kannst du mit

Betrag des Kreuzprodukts : 2

berechnen.

Nimm also zum Beispiel AB und AD als Richtungsvektoren, bilde ihr Kreuzprodukt, dessen Betrag und teile das Ergebnis durch zwei.

bei  Aufgabe 3a)?

Ja, zu dem Teil der Aufgabe

Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhalts der Grundfläche ABD Pyramide

und bei b) dann (x1+x2):2 (y1+y2):2 und (z1+z2):2 ?

Den Mittelpunkt der Strecke AB berechnest du mit

\( \vec{OA} \) + 0,5·\( \vec{AB} \)

Wie wird der Winkel berechnet?

\(cos(\alpha)=\frac{|\vec{a}\circ\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\)

ist a dann AB und b AD? Die RV

Ja, so ist es.

+1 Daumen

a) hatte ich bereits beantwortet.

b) Gleichsetzen: \( \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \)+u·\( \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} -5\\2\\7 \end{pmatrix} \)+v·\( \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \).

Komponentengleichungen:

1-2u=-5+2v

2=2-v

1+2u=7+2v

Die ersten beiden Gleichungen haben die Lösungen u=3 und v=0.

u in g und v in h eingesetzt ergibt den gleichen Punkt (-5|2|7).

von 99 k 🚀
+1 Daumen

3. c)
PSQ = Q - PS = [4, 1, 6] - [1, 1, 2] = [3, 0, 4]
|PSQ| = |[3, 0, 4]| = √(3^2 + 0^2 + 4^2) = 5 LE

von 381 k 🚀

Wissen Sie auch wie Aufgabe 2 berechnet wird?

Ja. Kannst du selber die Ebene in Parameterform aufstellen und auch schon das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bilden?

Die Aufstellung der Parameterform kann ich nicht

Die Aufstellung der Parameterform kann ich nicht

Hänge den Richtungsvektor der Geraden h einfach an die Parameterform der Geraden g an. Dann hast du die Ebenengleichung.

Die Ebene muss doch einfach beide Richtungsvektoren beinhalten.

E: x= \( \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \) + u • \( \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} \) + v •\( \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \) so?

Genau. übrigens ist es etwas unüblich als Parameter u und v zu nehmen. Die Buchstaben stehen üblicherweise für Vektoren. Aber natürlich ist man frei in der Wahl seiner Buchstaben.

Kannst du jetzt auch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bilden?

Muss man dafür die RV nehmen?

Ja. Weil wir den Normalenvektor der Ebene suchen und der steht zu beiden Richtungsvektoren senkrecht.

Wie berechnet man den Winkel 3b)?

+1 Daumen

Da eine Geradengleichung alle Punkte auf einer Geraden beschreibt, und im Schnittpunkt beide Geraden sich schneiden, kann g = h gesetzt werden.


Löse das Gleichungssystem

1 - 2s = -5 + 2t

2 = 2 - t                        (das sollte sofort die Erkenntnis auslösen, dass t = 0)

1 + 2s = 7 + 2t

von 11 k

Kommt dann für s 3 heraus?

Wenn man die Türe aufmacht, ja dann kommt es heraus.

Und um den Schnittpunkt zu ermitteln muss man s und t in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen oder?

Richtig. Oder in beide. Es ergibt aber denselben Schnittpunkt.

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Antwortversuch und Fragestellung:

Titel: Sind die Geraden g und h richtig angegeben?

Stichworte: vektoren,geraden

Aufgabe:

In einem karthesischen  Koordinatensystem sind die Punkte A (1;2;1) B (-1;2;3) und C (-5;2;7) sowie der Vektor v                       \(\begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \) gegeben.

Eine Gerade g verläuft durch die Punkte A & B, eine Gerade h verläuft durch den Punkt C und hat den Richtungsvektor v.

Geben Sie jeweils eine Gleichung der Geraden g und h an.

Problem/Ansatz:

Die Gerade g würde lauten:

g: v \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \) + u * \( \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} \)

und die Gerade h

h: c \( \begin{pmatrix} -5\\2\\7 \end{pmatrix} \) + v * \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \)


Ist das so Richtig? Bzw. kann man bei der Geraden h den Ortsvektor c nennen?

von
Bitte die vorhandenen Antworten anschauen. Anscheinend warst du nicht zuerst mit dieser Aufgabe.
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h ist richtig. g muss z.B. heißen:

\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \)+u·\( \begin{pmatrix} -2\\0\\2\end{pmatrix} \).

Es gibt viele weitere Möglichkeiten. Deine ist nicht darunter.

von 99 k 🚀
0 Daumen

Hallo Celine,

Gerade g

g: \(\vec{x}= \textcolor{green}{\begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}}\) + u * \( \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} \)

 für den Stützvektor vorn nimmt man am einfachsten den Ortsvektor von A ober B

und die Gerade h

h: \(\vec{x}= \begin{pmatrix} -5\\2\\7 \end{pmatrix} \) + v * \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\2 \end{pmatrix} \)  ist richtig

Gruß Wolfgang

von 85 k 🚀
0 Daumen

Ja, das sieht dann so aus:

1 - 2s = -5 + 3t

2         = 2 - t

1 + 2s = 7 + 2t

von 21 k
0 Daumen

Hallo

ja, das GS ist g=h und due schreibst die einzelnen Komponenten hin. 1. Gl

mit x=(x,y,z)   für x Koordinate 1-2s=-5+2t

entsprechend für y und z Koordinate

lul

von 58 k 🚀

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