Berechne die Länge der Katheten - geometrische Folge

Question

Aufgabe:

Berechne die Länge der Katheten - geometrische Folge

Problem/Ansatz:

Die Längen der Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks bilden eine geometrische Folge.

Die Hypotenuse ist 30 cm lang.

Berechne die Länge der zwei Katheten

Answer 1

c=30

c=bq → 30=bq → b=30/q

b=aq → 30=aq^2 → a= 30/q^2

a^2+b^2=c^2 → 900/q^4 + 900/q^2 =900

1/q^4 +1/q^2 = 1

...

\( a \approx 18.541, b \approx 23.5845, q \approx 1.27202 \)

Comments

Sei a < b < c=30.

Dann ist a die positive Lösung der Gleichung

a^ 2 + 30*a - 30^ 2 = 0

also

a =
-15+sqrt(15^ 2+30^ 2) ≈
18.541

und

b =
sqrt(30^ 2-a^ 2) =
sqrt(30^ 2-(-15+sqrt(15^ 2+30^ 2))^ 2) ≈
23.585

und

q =
b/a =
sqrt(30^ 2-(-15+sqrt(15^ 2+30^ 2))^ 2) / (-15+sqrt(15^ 2+30^ 2)) ≈
1.272

oder

q =
c/b =
30 / sqrt(30^ 2-(-15+sqrt(15^ 2+30^ 2))^ 2) ≈
1.272

Als Ansatz habe ich ein nicht lineares Gleichungssystem benutzt, das bei händischer Auswertung noch zu etwas einfacheren Lösungen führt. :-) Ich habe aber gerade keine Lust, die wiederzusuchen.