0 Daumen
246 Aufrufe

Aufgabe:

f(x) =  x2 +1 ; x∈[-2,2}

(a) Skizzieren Sie die Funktion und berechnen Sie die Fläche zwischen

Funktion, x-Achse und den Geraden x= -2 und x= 2.


(b) Diese Fläche rotiert nun um die y-Achse und bildet den Rotationskörper V.

Welcher Volumen hat er?


(c) Dieses Volumen entspricht in seiner Form einer Wassermenge in einem rotierenden zylindritschen Glas mit Radius 2cm.

Wie hoch steht das Wasser, wenn das Glas nicht rotiert?


(d) Berechnen Sie die Bogenlänge von f von (-2|5) bis (2|5).

(e) Berechnen Sie die Oberfläche von V.


Könntet ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?


Problem/Ansatz:

(a) ~plot~ x^2+1; x=2; x=-2 ~plot~

(b) y= x2 +1

   x= y2 +1 |-1

   x-1 = y2| √

\( \sqrt{x-1} \) = y

π\( \int\limits_{-2}^{2} \)(x-1) dx

π*[\( \frac{1}{2} \)x2 -x], x1 = 2, x2 = -2

π( (0 - 0) - (4) )

- (-4π) = 4π ≈ 12,57

von

2 Antworten

+3 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo,

zu (a) .. um diese blaue Fläche geht es:

blob.png

... und die ist $$F = \int_{-2}^{+2} x^2 + 1\,\text dx = \left.\frac 13 x^3 + x \right|_{-2}^{+2} \\\phantom{F} = \frac{14}3 - \left( \frac{14}3\right) = \frac{28}3$$

bei (b) ist wichtig zu beachten, dass sich der Graph um die Y-Achse drehen soll. Damit nimmt der Körper hier die Form eines (heraus geschnittenen) Paraboloiden an.

Denkt man sich aus diesem Körper eine waagerechte Scheibe heraus geschnitten (oberhalb von \(y=1\)), so besteht diese aus einem Kreisring mit Außenradius \(2\) und Innenradius \(x\). Das sieht etwa so aus:

blob.png

Die Fläche \(F_R\) so eines Rings ist $$F_R = \pi \cdot 2^2 - \pi \cdot x^2 = \pi(4-x^2)$$Die Höhe eines Rings sei \(\text dy\) und die Summe aller Ringe gibt das Volumen \(V_2\) ab \(y=1\) aufwärts$$V_2 = \int_{y=1}^{y=y(2)} F_R \,\text dy $$Aus der Funktion für \(y\) folgt $$y = x^2 + 1 \implies x^2 = y-1 $$Einsetzen gibt dann$$\begin{aligned}V_2 &= \int_1^{5} \pi(4 - (y-1))\, \text dy \\&= \pi \int_1^5 (5-y)\,\text dy = \pi\left[5y - \frac 12 y^2 \right]_1^5 \\ &=\pi\left( \frac{25}2 - \frac 92\right) = 8\pi\end{aligned}$$Jetzt noch das Volumen \(V_1=\pi r^2h\) des Zylinders unterhalb von \(y=1\) dazu zählen gibt dann das gesuchte Volumen \(V\)$$ V = V_1 + V_2 = \pi \cdot 2^2 \cdot 1 + 8\pi = 12\pi$$

(c) ist jetzt einfach - oder? \(h' = 3\)

(d) die Bogenlänge \(s\) ist die Summe aller Bogenstücke \(s = \int \text ds\). So ein Bogenstück ist nach Pythagoras$$\text ds^2 = \text dx^2 + \text dy^2 =\left( 1 + \left(\frac{\text dy}{\text dx} \right)^2\right) \text dx^2 \\\implies \text ds = \sqrt{ 1 + \frac{\text dy}{\text dx}}\, \text dx = \sqrt{1 + y'^2}\, \text dx$$und mit \(y' = 2x\) wird dann aus \(s\)$$\begin{aligned}s &= \int_{-2}^{2} \sqrt{1 + (2x)^2}\, \text dx \\&= \left. \frac x2 \sqrt{1+4x^2} + \frac 14 \text{arcsinh}(2x) \right|_{-2}^{+2}\\&= \left. \frac x2 \sqrt{1+4x^2} + \frac 14 \ln\left(2x+\sqrt{1+4x^2}\right) \right|_{-2}^{+2} \\&\approx 9,29\end{aligned}$$

(e) die größte Hürde ist hier, die Oberfläche des Paraboloidenstückes zu berechnen. Man denke sich wieder, dass das Volumenstück und damit die auch die Mantelfläche in infinitisemal dünne Scheiben geschnitten. Der Umfang einer solchen Scheibe ist dann der eines Kreises mit Radius \(x\) also \(2x\pi\) und die 'Höhe' ist das \(\text ds\) von oben. Also ist die Oberfläche \(O_P\) des Paraboloiden $$O_P = \int_{y=1}^{5} 2x\pi \,\text ds$$Hier muss nun \(x\) und \(\text ds\) in Abhängigkeit zu \(y\) gebracht werden. Es ist$$y = x^2+1 \implies x = \sqrt{y - 1 } \\ \text ds = \sqrt{ 1 + \left(\frac{\text dx}{\text dy} \right)^2} \,\text dy \\ \frac{\text dx}{\text dy} = \frac 1{2\sqrt{y-1}}$$Wie üblich alles das in das Integral für \(O_P\) einsetzen$$\begin{aligned}O_P &= \int_{y=1}^{5} 2x\pi \,\text ds \\&= \int_{y=1}^{5} 2 \sqrt{y - 1 }\pi \sqrt{ 1 + \frac{1}{4(y-1)}} \,\text dy \\&= \pi\int_{y=1}^{5} \sqrt{y-1 }\sqrt{ 4 + \frac{1}{(y-1)}} \,\text dy\\&= \pi\int_{y=1}^{5} \sqrt{4y-3 } \,\text dy \\ &= \pi \left[ \frac 16 \sqrt{(4y-3)^3}\right]_1^5 \\&= \frac{\pi}6\left( \sqrt{17^3}-1\right) \approx 36,2 \end{aligned}$$Addiere dazu noch den Zylindermantel \(O_M\) und die Grundfläche \(O_G\)$$r = 2 \\ h=y(2)=5 \\ O_M=2\pi rh = 20\pi \\ O_G = \pi r^2 = 4\pi$$

Gruß Werner

von 35 k

Vielen Dank für deine Antwort :)


\(\begin{aligned}O_P &= \int_{y=1}^{5} 2x\pi \,\text ds \\&= \int_{y=1}^{5} 2 \sqrt{y - 1 }\pi \sqrt{ 1 + \frac{1}{4(y-1)}} \,\text dy \\&= \pi\int_{y=1}^{5} \sqrt{y-1 }\sqrt{ 4 + \frac{1}{(y-1)}} \,\text dy\\&= \pi\int_{y=1}^{5} \sqrt{4y-3 } \,\text dy \\ &= \pi \left[ \frac 16 \sqrt{(4y-3)^3}\right]_1^5 \\&= \frac{\pi}6\left( \sqrt{17^3}-1\right) \approx 36,2 \end{aligned}\)


Kannst du bitte veranschaulichen, wie du die Wurzelterne vereinfachst hast?

Komme da auf was anderes. √(4y +y/(y-1) -4 -1/(y-1) = √(4y +1 -y -4 -1/y+1)

Wäre sehr nett von dir.

√(4y + (y-1)/(y-1) -4) = √(4y + 1 -4) = √(4y -3)

Hab den Wurzelterm doch geschafft zu vereinfachen.


Kannst du mir bitte auf OG und OM näher eingehen?

OM=2π*x*ds

= 2π*x*\( \sqrt{1+\frac{1}{4(y-1)}}dy \)

= 2π*\sqrt{y-1}*\( \sqrt{1+\frac{1}{4(y-1)}}dy \)


OG = π*x = π*\( \sqrt{(y-1)^2} \)


Ich wollte mich auch nochmals für deine Hilfe bedanken.

Hab den Wurzelterm doch geschafft zu vereinfachen.

Prima ... das war doch auch bloß einfache Algebra .... ;-)

Kannst du mir bitte auf OG und OM näher eingehen?

hier hast Du was durcheinander gebracht! Die Aufgabe (e) lautet, die Oberfläche des Körpers \(V\) zu berechnen. Diese besteht aus drei Teilen:

\(O_P\): die Oberfläche, die durch den ausgeschnittenen Paraboloiden erzeugt wird

\(O_M\): der Mantel, der ist identisch mit dem Mantel eines Zylinders.

\(O_G\): die Grundfläche, die schlicht eine Kreisscheibe ist.

OM=2π*x*ds

das ist nicht der Mantel \(O_M\), sondern die Paraboloiden-Oberfläche \(O_P\) (s. Antwort), ohne Integral, das fehlt noch.

Stell Dir für die Berechnung des Mantels \(O_M\) eine Konservendose vor, um die ein Ettikett (Papier) gewickelt ist. Wenn Du das Papier von oben noch unten aufschneidest und abwickelst, so erhältst Du ein rechteckiges Stück Papier. Das Papier hat die Höhe \(h\) der Dose (bzw. des Zylinders) und seine Breite entspricht dem Umfang \(2\pi r\) der Dose. Und bekanntermaßen ist die Fläche eines Rechtecks gleich Länge mal Breite - also hier $$O_M = (2\pi r) \cdot h = 2\pi rh$$

\(O_G = π\cdot x^2  = π\cdot \sqrt{(y-1)^2} \)

Die Grundfläche zeichnet sich dadurch aus, dass sie genau einmal unten am Körper \(V\) existiert. Und dort hat sie den Radius \(r=2\) und das war's! Und da das eine Kreisscheibe ist, ist die Fläche \(O_G\)$$O_G = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4 \pi$$

Den Radius hast du von c, oder? Frage nur zur Sicherheit.

Den Radius hast du von c, oder? Frage nur zur Sicherheit.

Interessante Frage! Der Radius ist in der Aufgabenstellung vorgegeben. Die Funktion ist $$y(x) = x^2 + 1, \quad x \in [-2;2]$$die Fläche 'unterhalb' dieser Funktion (bis zur X-Achse) soll um die Y-Achse rotieren (s. blaue Fläche ganz oben in meiner Antwort)

\(O_M=2\pi rh = 8\pi\)

Müsste es nicht 12π, da h =3 ist?

\(O_M=2πrh=8π\)
Müsste es nicht 12π, da h =3 ist?

Ah! - mein Fehler. Keine Ahnung, was ich da gerechnet habe ... \(h\) ist die Höhe des Körpers \(V\) - also \(h=y(2) = 5\). Somit ist $$O_M = 2\pi rh = 2\pi \cdot 2 \cdot 5 = 20\pi$$die Antwort habe ich korrgiert. \(O_M\) muss ja auch augenscheinlich größer sein als \(O_P\) und da wären \(8\pi\) definitiv zu wenig!

Danke :)

Ich wollte nur noch zur Sicherheit fragen, wieso man für O_M kein Integral braucht.

Ich wollte nur noch zur Sicherheit fragen, wieso man für O_M kein Integral braucht.

ich hatte das nicht als eine Frage verstanden ... ;-)

Gegenfrage: wieso sollte man für die Mantelfläche eines Zylinders ein Integral brauchen? Abgewickelt ergibt sich daraus ein Rechteck mit $$O_M = \underbrace{2\pi r}_{\text{Breite}} \cdot \underbrace{h}_{\text{Höhe}} $$

Bist Du sicher, dass Du eine Vorstellung hast, wie der Körper aussieht?

blob.png

(klick auf das Bild)

Danke, hast mir damit weitergeholfen. :)

Schuldigung, dass ich erst jetzt frage, aber wie bist du genau auf die Stammfunktion von \(\begin{aligned}s &= \int_{-2}^{2} \sqrt{1 + (2x)^2}\, \text dx \\&= \left. \frac x2 \sqrt{1+4x^2} + \frac 14 \text{arcsinh}(2x) \right|_{-2}^{+2}\\&= \left. \frac x2 \sqrt{1+4x^2} + \frac 14 \ln\left(2x+\sqrt{1+4x^2}\right) \right|_{-2}^{+2} \\&\approx 9,29\end{aligned}\)

gekommen?

wie bist du genau auf die Stammfunktion gekommen?

Tja - um ehrlich zu sein: Wolfram Alpha! nur ein paar Klicks entfernt ;-)

oder man schaut in dieser Tabelle nach (der letzte Eintrag) oder man substituiert$$2x= \tan(z) \implies \text dx = \frac 12\left(1+\tan^2(z)\right) \text dz$$und rechnet sich 'n Wolf. Vor ein paar Jahrzehnten hatte ich das auch mal gut gekonnt :-/

Müsste man bei b nicht den Volumen des Paraboloides abziehen 8π-4π abziehen?

Müsste man bei b nicht den Volumen des Paraboloides abziehen 8π-4π abziehen?

Nun - Du kannst auch das Volumen des Paraboloiden berechnen und es dann vom Volumen des Zylinders abziehen. Aber ersteres ist exakt der gleiche Aufwand wie das Volumen zu berechnen, was ich oben getan habe.

Der gesamte Zylinder \(r=2\), \(h_z=5\) ist \(V_z= \pi r^2h = 20\pi\). Das des Paraboloiden mit \(h_p=4\) ist \(V_p = \frac 12 \pi r^2 h_p = 8\pi\) macht für den oben beschriebenen Körper $$V = V_z-V_p = 12\pi$$Woher weiß ich wohl, wie groß \(V_p\) ist?

Vielen Dank.


Kann man eigentlich wie bei F_R auch den Umfang 2pi(R+r) (oder welcher Wert man einzeln berechnen kann) bei e) berechnen und dann entsprechend (Wert für x)einsetzen?


Könntest du das bitte, wenn es möglich ist auch vormachen? Danke

Kann man eigentlich wie bei F_R auch den Umfang 2pi(R+r) (oder welcher Wert man einzeln berechnen kann) bei e) berechnen und dann entsprechend (Wert für x)einsetzen?

Ja - genau das habe ich ja bei (e) gemacht (s.o. in meiner Antwort). Das \(x\) ist in diesem Fall das \(r\). Wobei ich einfach das \(\text ds\) von (d) übernommen habe. Das erschien mir am einfachsten.

Die Oberfläche \(O_R\) eines (infinitesimal!) kleinen Rings ist die Mantelfläche eines Kegelstumpfs. Das kann man schreiben als$$O_R = \pi m(r + R)$$\(m\) ist hier die Mantellinie und ist das \(\text ds\). Und \(R = r + \text dr\). Also$$O_R = \pi (2r+ \text dr) \text ds = 2\pi r \,\text ds + \underbrace{\pi\,\text dr\,\text ds}_{\to 0}$$den hinteren Term kann man vernchlässigen, da hier zweimal das Infinitesimal drin vorkommt. Die Oberfläche \(O_P\) des Paraboloiden ist dann das Integral - also die Summe aller \(O_R\)$$O_P = \int O_R = \int 2\pi r\,\text ds$$ \(x\) und \(r\) ist hier das selbe.

Könntest du das bitte, wenn es möglich ist auch vormachen?

siehe oben in meiner Antwort!

Du findest die Herleitung auch noch mal in diesem Wiki-Artikel Paraboloid. Dort ist das \(z\) Dein \(y-1\).

0 Daumen

Zu b) Der Rotationskörper berechnet sich so:

π·\( \int\limits_{-2}^{2} \) (x2+1)2 dx ≈π·27,4

von 101 k 🚀

π·\( \int\limits_{-2}^{2} \) (x2+1)2 dx ≈π·27,4

So berechnet er sich ganz gewiss nicht.

@Roland

Rotation um die y-Achse, nicht um die x-Achse.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community