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Ich hoffe, dass mir hier jemand helfen kann.

Für ein Produkt lautet die quadratische Kostenfunktion wie folgt:
K(x) = 0,1x² + 6x + 40


K(x)... Gesamtkosten von x Mengeneinheiten in Geldeinheiten (GE)
x ... erzeugte Menge in Mengeneinheiten (ME)


Der Betrieb erzeugt pro Tag höchstens 30 ME dieses Produkts
a)
Interpretieren Sie die gegebene Kostenfunktion hinsichtlich der folgenden mathematischen Eigenschaften:
. sinnvoller Definitionsbereich
. Monotonie und Krümmungsverhalten
. Fixkosten

b)
- Ermitteln Sie aus der gegebenen Gleichung, wie viele ME produziert wurden, wenn
Kosten von 150 GE angefallen sind.
- Ermitteln Sie, wie hoch die Kosten für die Produktion von 10 ME sind.

C)
- Stellen Sie die Stuckkostenfunktion (= Durchschnittskostenfunktion) auf.
Berechnen Sie das Betriebsoptimum mit der langfristigen Preisuntergrenze.

Danke schon im Voraus für die Hilfe!

von

Lautet die Funktion \(K(x)=-0,1x^2+6x+40\)?

Ja.

Funktion → K(x) = -0,1x² + 6x + 40

4 Antworten

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Beste Antwort

K(x)=0,1*x²+6*x+40  ist eine Parabel nach oben offen,Minimum vorhanden

allgemeine Form y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao

a2>0 Parabel nach oben offen,Minimum vorhanden

a2<0 Parabel nach unten offen,Maximum vorhanden

Scheitelpunktform y=f(x)=a2*(x-xs)²+ys

Scheitelpunkt Ps(xs/ys) mit xs=-(a1)/2*a2) und ys=-(a1)²/(4*a2)+ao

xs=-(6)/(2*0,1)=-30  und ys=-(6)²/(4*0,1)+40=-50

K(x)=0,1*(x-(-30))²-50=0,1*(x+30)²-50

x>-30 k´(x)=m>0 → monoton steigend

Definitionsbereich 0≤x≤30  bei x=0 keine Produktion bei x=30 maximale Produktion

Fixkosten,wenn nix produziert wird bei x=0  K(Fix)=40

Krümmung k=y´´/[1+(y´)²]^(3/2)

k<0 konvex (Rechtskrümmung,von oben gesehen)

k>0 konkav (Linkskrümmung,von oben gesehen)

also y´´=K´´(x)=...


b) K(x)=150=0,1*x²+6*x+40

0=0,1*x²+6*x+40-150

0=0,1*x²+6*x-110 dividiert durch 0,1

0=x²+60*x-1100  Nullstellen mit der p-q-Formel x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)

mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)

x1=14,721 ME und x2=-74,721..

K(10)=0,1*10²+6*10+40=110 GE

c) weiß ich nicht,weil das Spezialwissen voraussetzt

Preisuntergrenze ist wohl bei x=0  → Fixkosten K(Fix)=40 GE

Parabel.JPG

Text erkannt:

Die Parabe] al 1geneine Form \( y=f(x)=a 2 * x^{2}+a 1+x+a 0 \) ScheitelPunktform \( \left.y=f(x)=a 2^{*}(x-x 8)^{2}+y\right\} \) Scheite1punkt \( \mathrm{Ps}(\mathrm{xs} / \mathrm{ys}) \mathrm{mit} \mathrm{xse-}(\mathrm{a} 1) /(2 * \mathrm{a} 2) \) und
\( \mathrm{y} \mathrm{se-}(\mathrm{a} 1)^{2} /(4 * \mathrm{a} 2)+\mathrm{ad} \)
Normalform \( 0=x^{2}+p^{*} x+d \) Nullstellen mit der p-q-Formel \( x+2=-p / 2+/-\sqrt{\left((p / 2)^{2}-q\right)} \)
gemischtquadratische Form \( \left.0=x^{2}+p^{*} x\right] \) Nu11stellen bei \( x 1=0 \) und
einfachste Form \( y=a^{*} x^{2}+c \)
a 2-Streckungsfaktor (Formfaktor) \( a 2>0 \) Parabel nach oben offen, Minimum vorhanden a \( 2<0 \) Parabel nach unten offen,Maximum vorhanden \( a 2>1 \) Parabel gestreckt,oben schmal 0 <a \( 2<1 \) Parabel gestaucht,oben breit
Herleitung \( \mathrm{xs} \) und ys
\( f(x)=a 2^{*} x^{2}+a 1^{*} x+a \circ \) nun ableiten
\( f^{\prime}(x s)=0=2 * a 2 * x s+a 0 \quad \) ergibt \( \left.x s=-(a 1) /(2 * a 2)\right] \) eingesetzt
\( y s=f(x s)=a 2 *(-a 1 /(2 * a 2))^{2}+a 1 *(-a 1 /(2 * a 2)+a 0 \)
\( y s=a 2 *(-a 1)^{2} /\left(4 * a 2^{2}\right)-a 1^{2} /(2 * a 2)+a 0 \)
\( \mathrm{ys}=1 / 4 * \mathrm{a} 1^{2} / \mathrm{a} 2^{2}-2 / 4 * \mathrm{a} 1^{2} / \mathrm{a} 2+\mathrm{a} \circ \)
\( y s=-(a 1)^{2} /(4 * a 2)+a d \)
Hinweis:Der Scheitelpunkt \( \mathrm{Ps}(\mathrm{xs} / \mathrm{ys}) \) ist ein Extrempunkt Maximum oder Minimum
Lösbarkeitsregeln für die p-q-Formel
Diskriminate \( D=(p / 2)^{2}-b\left\{\left\{\begin{array}{l}>02 \text { reelle verschiedene Lösungen } \\ =02 \text { gleiche reelle Losungen } \\ <02 \text { konjugiert komplexe Losungen }\end{array}\right.\right. \)

 ~plot~0,1*x^2+6*x+40;150;310;[[-60|40|-60|350]];x=14,72;x=30~plot~

von 6,5 k

Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben die Aufgabe so ausführlich zu beantworten. Sie haben mir wirklich sehr geholfen!

Die Krümmung dieser Parabel ist k=d(a)/ds=positiv → konkav → Linkskrümmumg (Tangente dreht sich entgegen den Uhrzeigersinn)

1) eine Tangente an den Graphen anlegen

2) den Winkel (a) einzeichnen (a) ist der Winkel zwischen der angelegten Tangente und dem Graphen y=f(x)=..

ds ist ein kleines Stück Strecke auf den Graphen,wenn x nach rechts läuft (in Richtung positiver x-Achse)

der Winkel (a) wandert dann in Drehrichtung entgegen den Uhrzeigersinn → mathematisch positive Drehrichtung


Vielen Dank!

Vielen Dank für die Hilfe!

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Statt eine komplette Aufgabe einzustellen: Kannst du nicht erst mal die Aufgabenteile selbst versuchen, die du kannst?

Wenn man mal das ganze "wirtschaftsmathematische" Gedöns beiseite lässt, sind das quadratische Funktionen (aus Klasse 9 bekannt). Da sollte doch was hängengeblieben sein?

von 28 k

Ich habe es tatsächlich bereits versucht und zwar mehrmals. Ich habe sogar mit einer Freundin zusammengearbeitet und wir sind zu nichts gekommen. Das ist für uns neuer Stoff aus diesem Grund habe ich als letzte Möglichkeit diese Plattform gesehen (die ja dazu da ist) eine Lösung zu dieser Aufgabe zu bekommen. Bin tatsächlich erst in der 9. also kann gar nichts hängengeblieben sein, da es neu ist.

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Der Betrieb erzeugt pro Tag höchstens 30 ME dieses Produkts

a)
Interpretieren Sie die gegebene Kostenfunktion hinsichtlich der folgenden mathematischen Eigenschaften:
. sinnvoller Definitionsbereich
. Monotonie und Krümmungsverhalten
. Fixkosten

Schau dir mal das Schaubild der Funktion an und berücksichtige die Angabe, dass maximal 30 ME pro Tag produziert werden. Wie könnte der Definitionsbereich aussehen?

Dann wirf einen Blick auf die Monotonie.

Das Krümmungsverhalten einer Parabel wird von dem Zahl vor dem \(x^2\) beeinflusst. Ist sie positiv, dann ist die Parabel nach oben geöffnet und auch die Krümmung positiv. Ist die Zahl negativ, dann ist die Parabel nach unten geöffnet und die Krümmung positiv.

Die Fixkosten kennst du evtl. noch von linearen Funktionen der Form y 0 mx + b. b sind die Fixkosten. Welche sind es dann hier?

So weit klar?


von 23 k

Ja, Dankeschön. Das hat mir schon einiges erleichtert.

Schaffst du jetzt b und c?

Jetzt sollte es gehen. Danke!

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K(x) =  minus 0,1 * x^2 + 6x + 40

Der Betrieb erzeugt pro Tag höchstens 30 ME dieses Produkts
a)
Interpretieren Sie die gegebene Kostenfunktion hinsichtlich der folgenden mathematischen Eigenschaften:
. sinnvoller Definitionsbereich
. Monotonie und Krümmungsverhalten
. Fixkosten

gm-183.JPG
b)
- Ermitteln Sie aus der gegebenen Gleichung, wie viele ME produziert wurden, wenn
Kosten von 150 GE angefallen sind.

K(x) =  - 0,1 * x^2 + 6x + 40 = 150
keine Lösung : 150 wird nie erreicht.
Also doch
K(x) =  plus 0,1 * x^2 + 6x + 40 = 150

von 111 k 🚀

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