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Aufgabe:

Ich soll zeigen, dass diese rekursive Folge: c0 := 1 , cn+1 := 1 +1cn \frac{1}{cn}  (Im unteren Bruch soll cn, nicht cn stehen)

gegen k konvergiert, wobei k die Lösung von k2 k^{2} -k-1 = 0 ist, mit k>0 ist.

Problem/Ansatz:

Hat da jemand ne Idee?

LG Mathcrack

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Kettenbruchentwicklung der Goldenen Zahl.

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Was ist das? Habe noch nie davon gehört... und kann man das auf alle Folgen anwenden oder nur diese hier?

LG Mathcrack

Die positive Lösung der Gleichung k2k1=0k^2-k-1 = 0 heißt goldene Zahl.

Ein Term der Form a+bc+de+fa + \frac{b}{c+\frac{d}{e+\frac{f}{\ddots}}} heißt Kettenbruch.

In deinem Fall ist a=b=c=d=f==1a=b=c=d=f=\dots = 1. Das ist die Kettenbruchentwicklung der goldenen Zahl.

Dieser Zusammenhang ist recht bekannt. Du wirst also wohl durch Recherche im Internet einen Beweis finden.

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