Die positive Lösung der Gleichung k2−k−1=0 heißt goldene Zahl.
Ein Term der Form a+c+e+⋱fdb heißt Kettenbruch.
In deinem Fall ist a=b=c=d=f=⋯=1. Das ist die Kettenbruchentwicklung der goldenen Zahl.
Dieser Zusammenhang ist recht bekannt. Du wirst also wohl durch Recherche im Internet einen Beweis finden.