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Aufgabe:



Gegeben seien paarweise verschiedene Stützstellen x0,x1,,xn. x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n} . Ein Polynom vom Grad n+1 n+1 wird definiert durch
w(x)=j=0n(xxj) .  w(x)=\prod \limits_{j=0}^{n}\left(x-x_{j}\right) \text { . }
Zeigen Sie, dass die Lagrange-Basispolynome zu diesen Stützstellen auch die alternative Formel
Li(x)=w(x)(xxi)w(xi) fu¨i=0,1,,n L_{i}(x)=\frac{w(x)}{\left(x-x_{i}\right) w^{\prime}\left(x_{i}\right)} \quad \text { für } i=0,1, \ldots, n
erfüllen.



könnte mir jemand bitte dabei helfen?

:)

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Hat niemand Idee ?

Gib doch mal die Definition der Basispolymome an.

was ist w'(x)? Produktregel mehrfach anwenden. Was passiert wenn du x_i einsetzt?

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Hallo :-)

Im Grunde musst du nur die Produktregel beim Polynom ww anwenden. Dann bekommst du diesen Ausdruck:

w(x)=l=0n(j=0jln(xxj))w'(x)=\sum\limits_{l=0}^n \left( \prod\limits_{\substack{j=0\\[3pt]j\neq l}}^n (x-x_j)\right ).

Jetzt musst du nur noch alles in den Ausdruck w(x)(xxi)w(xi)\frac{w(x)}{\left(x-x_{i}\right) w^{\prime}\left(x_{i}\right)} einsetzen. Wenn du dabei unsicher sein solltest, schreibe die Summe bzw. Produkte aus.

Avatar von 15 k

Alles klar danke :)

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