Ich versuche die folgende Aufgabe zu lösen.
Wir betrachten \( V=\mathbb{C}^{4} \) als \( \mathbb{C} \) -Vektorraum. Gegeben seien die folgenden beiden Mengen von Vektoren in \( V \) :
\( \mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}i \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\right\}, \quad \mathcal{C}=\left\{\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 i \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\sqrt{2} \\ 0 \\ 0 \\ \pi^{3}\end{array}\right)\right\} . \)
(1) Zeigen Sie \( \mathcal{B} \) ist eine Basis von \( V \) und \( \mathcal{C} \) ist linear unabhängig.
(2) Finden Sie alle Basen \( \mathcal{B}^{\prime} \) von \( V \), für die gilt: \( \mathcal{C} \subset \mathcal{B}^{\prime} \subset \mathcal{C} \cup \mathcal{B} \).
(1) B ist Basis: Hierfür habe ich nun die einzelnen Vektoren mit Lambda_1 - Lambda_4 multipliziert und stehe jetzt da und überlege, ob V4 überhaupt nützt. Auf lineare Unabhängigkeit komme ich doch auch ohne den. Im C^4 müssen es aber doch 4 Vektoren zur LU sein, oder?
Meine Rechnung
Lambda_1 +0+0+Lambda_4*i =0
Lambda_1+Lambda_2+0+0=0
0+Lambda_2+Lambda_3+0=0
0+0+Lambda_3+0=0
Daraus folgt doch Lambda_3=0 ––> Lambda_2=0 ––> Lambda_1 =0 und somit muss auch Lambda_4 =0 sein. Habe ich einen Denkfehler? Weil wenn nicht wäre es ja keine Basis, weil nicht minimal, oder?
