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Q(2,3,1) X(2,0,0), Y(0,3,0), Z(0,0,1)
Bestimmen Sie die orthogonale Projektion von Q auf E
Ich habe nun die Ebenengleichung aufgestellt, weiß aber nicht wie ich weiter vorgehen soll. Danke für die Hilfe
E:x = \( \begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix} \) + α \( \begin{pmatrix} -2\\3\\0 \end{pmatrix} \) + β \( \begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix} \)
\( \vec{n} \) = \( \begin{pmatrix} 3\\2\\6 \end{pmatrix} \)

3x+2y+6z=6

vor von

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Hallo,

Q(2,3,1) X(2,0,0), Y(0,3,0), Z(0,0,1) 

\(E :~~~3x+2y+6z=6 \)

\( g: ~~~\vec x=\begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\6 \end{pmatrix} \)

g in E einsetzen:

3*(2+3r)+2*(3+2r)+6*(1+6r)=6

18+49r=6

r=-12/49

usw.

:-)

vor von 26 k
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Aloha :)

Die Ebenengleichung für \(E(XYZ)\) kannst du sofort hinschreiben:$$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{1}=1\quad\stackrel{\cdot6}{\implies}\quad 3x+2y+6z=6$$

Jetzt ziehst du vom Punkt \(Q\) zu einem beliebigen Punkt der Ebene, etwa zum Punkt \(X\), einen Vektor$$\overrightarrow{QX}=\vec x-\vec q=\begin{pmatrix}2-2\\0-3\\0-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-3\\-1\end{pmatrix}$$Diesen Vektor projezierst du nun auf den Normalenvekor \(\vec n\) der Ebene:

$$\overrightarrow{QX}_\parallel=\frac{\left(\overrightarrow{QX}\cdot\vec n\right)}{\vec n^2}\,\vec n=\frac{\left(\begin{pmatrix}0\\-3\\-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}\right)}{\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}=-\frac{12}{49}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$$

Der Lotfußpunkt der orthogonalen Projektion in der Ebene ist daher:

$$\vec q_\perp=\vec q+\overrightarrow{QX}_\parallel=\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}-\frac{12}{49}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$$

vor von 75 k 🚀

dankesehr (:


https://www.mathelounge.de/852589/verflechtungsmatrizen-anwendung-der-produktionsplanung#c852861

könntest du mir das hier auch nochmal erklären? ich weiß, da ist bereits eine ausführliche erklärung aber ich kann die riesen matrix trotzdem nicht nachvollziehen...

wäre total nett, am besten die ganze aufgabe und so dass ich weiß, was zu was gehört, wobei ich die a glaube ich verstanden habe, das ist ja nur eine matrix vektor multiplikation

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Hallo

die Gerade durch Q mit Richtungsvektor n schneidet im gesuchten Punkt!

Gruß lul

vor von 63 k 🚀

das hab ich versucht, aber da kommen bei mir komische zahlen raus

das hab ich versucht, aber da kommen bei mir komische zahlen raus

Das kann gut sein. Ich habe leider auch komische Zahlen raus.

die ebenengleichung hatte ich aber richtig aufgestellt oder?

Ja. Du hättest auch gleich die Achsenabschnittsform aufstellen können

X(2,0,0), Y(0,3,0), Z(0,0,1)

x/2 + y/3 + z/1 = 1
3·x + 2·y + 6·z = 6

Da sparst du dir gleich die Parameterform.

Ah okay danke für den tipp(:

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([2, 3, 1] + r·[3, 2, 6])·[3, 2, 6] = 6 --> r = -12/49

[2, 3, 1] -12/49·[3, 2, 6] = [62/49, 123/49, - 23/49] = [1.265, 2.510, -0.469]

vor von 384 k 🚀

Könntest du mir eventuell bei meiner anderen Frage Verflechtungsmatrix in der Produktionsplanung helfen? Ich kann die Lösung nicht ganz nachvollziehen.. Die a) verstehe ich aber den rest nicht

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