Hallo Fresco,
Willkommen in der Mathelounge!
a) Gesucht ist eine punktsymmetrische Funktion g dritten Grades, ...
dann hat die Funktion die Form$$g(x)= ax^3 + cx $$d.h. die Exponenten von \(x\) sind alle ungerade.
... die durch den Punkt P(1/3) verläuft
Heißt \(g(1)=3\) also$$g(1) = a + c = 3$$
... und deren Graph mit der x-Achse über dem Intervall [0/1] eine Fläche von 3 FE einschließt.
$$\begin{aligned} \int_0^1 g(x)\, \text{d}x &= 3\\\int_0^1 ax^3+cx\, \text{d}x &= 3\\\left. \frac a4x^4 + \frac{c}{2}x^2\right|_0^1 &= 3\\\frac a4 + \frac{c}{2} &= 3\\a + 2c &= 12 \\\end{aligned}$$von der entstandenen Gleichung ziehe man nun \(a+c=3\) ab$$\begin{aligned} \implies c &= 9 \\ \implies a &= -6\end{aligned}$$Die kubische Funkion ist also$$g(x) = -6x^3+9x$$
~plot~ -6x^3+9x;{1|3};[[-3|3|-5|5]] ~plot~
b) Berechnen Sie die Fläche, die vom Graphen von g und der x-Achse zwischen den Nullstellen eingeschlossen wird.
Dazu müssen erst die Nullstellen berechnet werden. Eine Nullstelle ist wegen der Punktsymmetrie \(x_1=0\), dann bleibt $$-6x_{2,3}^2 + 9 = 0 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{ \frac 32}$$und die Fläche \(F\) unter der Kurve von \(0\) bis \(\sqrt{3/2}\) ist$$\begin{aligned}F &= \int_0^{\sqrt{3/2}} g(x)\,\text dx \\&= \left. -\frac 64x^4 + \frac 92 x^2\right|_0^{\sqrt{3/2}} \\&= -\frac64 \left( \frac 32\right)^2 + \frac 92\cdot \frac 32 \\&= \frac{27}8 = 3,375\end{aligned}$$
Treffen Sie eine Aussage über den Integralwert über dem gleichen Intervall.
Der Integralwert über dem gleichen Intervall ist die Fläche unterhalb der Kurve in diesem Intervall (komische Frage)
Gruß Werner
