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Aufgabe:

1) 0exdx\int \limits_{0}^{∞}e^{-x}dx

2) limc0c1211xdx;c>0\lim\limits_{c\to0}\int \limits_{c}^{121}\frac{1}{\sqrt{x}}dx ; c>0

Komme da leider nicht weiter. Könntet ihr mir bitte helfen?

Und wie wäre bei 2 die Lösung wenn die Funktion nicht bei 0 stoppen würde?

Problem/Ansatz:

1) limx1xxadx=xa+1x+1\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{a}dx = \frac{x^{a+1}}{x+1}
a > 0 : ∞
a=0  : 1
a<0: 0


2) c>0;limc0c1211xdx=limc0(21212c)=211=22c>0;\lim\limits_{c\to0}\int \limits_{c}^{121}\frac{1}{\sqrt{x}}dx = \lim\limits_{c\to0} (2*\sqrt{121}-2*\sqrt{c})= 2*11=22

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Könntet ihr mir bitte noch bei dieser Aufgabe helfen?


1) limx1xxadx=xa+1x+1\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{a}dx = \frac{x^{a+1}}{x+1}

(Siehe Ansatz)

2 Antworten

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1)

        0exdx=limt0texdx=limt[ex]0t=limt((et)(e0))=limt(et+1)=limtet+limt1=0+1=1\begin{aligned} & \int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x\\ =\, & \lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t}\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x\\ =\, & \lim_{t\to\infty}\left[-\mathrm{e}^{-x}\right]_{0}^{t}\\ =\, & \lim_{t\to\infty}\left(\left(-\mathrm{e}^{-t}\right)-\left(-\mathrm{e}^{-0}\right)\right)\\ =\, & \lim_{t\to\infty}\left(-\mathrm{e}^{-t}+1\right)\\ =\, & \lim_{t\to\infty}-\mathrm{e}^{-t}+\lim_{t\to\infty}1\\ =\, & 0+1\\ =\, & 1 \end{aligned}

2)

        limc0c1211xdx=limc0[2x]c121=limc0((2121)(2c))=limc02121limc02c=220=22\begin{aligned} & \lim\limits _{c\to0}\int\limits _{c}^{121}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\\ =\, & \lim\limits _{c\to0}\left[2\sqrt{x}\right]_{c}^{121}\\ =\, & \lim\limits _{c\to0}\left(\left(2\sqrt{121}\right)-\left(2\sqrt{c}\right)\right)\\ =\, & \lim\limits _{c\to0}2\sqrt{121}-\lim\limits _{c\to0}2\sqrt{c}\\ =\, & 22-0\\ =\, & 22 \end{aligned}

Und wie wäre bei 2 die Lösung wenn die Funktion nicht bei 0 stoppen würde?

Für c0<0c_0 < 0 ist limcc0c1211xdx\lim\limits _{c\to c_0}\int\limits _{c}^{121}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x nicht definiert.

Für c0>0c_0 > 0 kann limcc0c1211xdx\lim\limits _{c\to c_0}\int\limits _{c}^{121}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x berechnet werden indem der Wert von c0c_0 für cc im Integral eingesetzt wird und dann das Integral berechnet wird, weil die Funktion

        cc1211xdxc\mapsto \int\limits _{c}^{121}\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x

stetig ist.

Avatar von 107 k 🚀

Danke :)

Und limx1xxadx=xa+1x+1\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{a}dx = \frac{x^{a+1}}{x+1}?

Und auch bei einer älteren Frage(https://www.mathelounge.de/856836/verhalten-im-unendlichen-aufgaben#…) , wo die Antwort noch offen ist? limx1xxadx=xa+1x+1\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{a}dx = \frac{x^{a+1}}{x+1}

Georg hat Dir ja schon geholfen. Hier nochmal: 1.Fall a1a \ne -1=limx1xxadx=limx[1a+1xa+1]1x=limx[1a+1xa+11a+11a+1]=limxxa+11a+1=1a+1(limxxa+11)xa+1x+1\phantom{=}\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{a}dx \\=\lim\limits_{x\to\infty} \left[ \frac{1}{a+1} x^{a+1}\right]_1^x \\= \lim\limits_{x\to\infty} \left[\frac{1}{a+1} x^{a+1} - \frac{1}{a+1} 1^{a+1}\right] \\= \lim\limits_{x\to\infty} \frac{x^{a+1} -1}{a+1} \\= \frac{1}{a+1}\left(\lim\limits_{x\to\infty} x^{a+1} -1\right) \\\ne \frac{x^{a+1}}{x+1}\\Für a<1a \lt -1 wird limxxa+1=0\lim\limits_{x\to\infty} x^{a+1} = 0 und dann folgt darauslimx1xxadx=1a+1a<1\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{a}dx = \frac{-1}{a+1} \quad a \lt -1Für a>1a \gt -1 geht das gegen unendlich.

2.Fall: a=1a=-1=limx1xx1dx=limx[ln(x)]1x=limx[ln(x)ln(1)=0]=limxln(x)\phantom{=}\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{-1}dx \\=\lim\limits_{x\to\infty} \left[\ln(x) \right]_1^x \\= \lim\limits_{x\to\infty} \left[\ln(x) - \underbrace{\ln(1)}_{=0}\right] \\= \lim\limits_{x\to\infty} \ln(x) \to \infty

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f = e^(-x)
Stammfunktion
S ( x ) = - e^(-x)
Integral S zwischen null und ∞
[- e^(-∞) ] - [- e^(-0) ]
0 + 1 = 1

Avatar von 123 k 🚀

Und diese Aufgabe?limx1xxadx=xa+1a+1\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{a}dx = \frac{x^{a+1}}{a+1}

für(jeweils) a<0, a=0 , a>0

Ich kann dir da leider nicht helfen

f ( x ) = x a
Stammfunktion
S ( x ) = x ^ (a + 1) / ( a + 1 )
[ S ( x ) ] zwischen 1 und ∞
∞ ^ (a + 1) / ( a + 1 ) minus
1 ^ (a + 1) / ( a + 1 )

Mein Matheprogramm meint

∞ falls a = - 1
1- / ( a + 1  ) falls a < - 1

Und diese Aufgabe?

Dieser Aufgabe könntest du eine eigene Frage widmen. Dabei solltest du deutlich zwischen der Aufgabe und deinen eigenen Ansätzen dazu unterscheiden. Außerdem fällt noch auf, dass die Variable x, nach der integriert wird, auch in einer der Integrationsgrenzen vorkommt. So etwas vermeidet man für gewöhnlich.

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