A.) wahr, welche falsch?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Aussagen sind (i. A.) wahr, welche falsch? Geben Sie jeweils eine Begründung oder ein Gegenbeispiel an:

a) Sei f : R2 → R partiell differenzierbar mit ∂1f = 0. Dann gilt f(0, 0) = f(1, 0)
b) Es gibt eine differenzierbare Funktion f : R2 → R mit ∇f(x, y) = (y, −x)

Problem/Ansatz:

Ich weiß hier nicht wie genau ich meine Begründung bzw. Gegenbeispiel führen muss und wie genau ich das lösen soll.

Answer 1

Hallo

a) wie sieht f(x,y) aus wenn ∂xf=0 für ALLE x?

b) entsprechend: du kennst die Ableitung nach x, und die nach y

also muss  wegen ∂xf =y   f(x,y) =xy+g(y) sein  dann dasselbe für ∂yf=-x was folgt?

Kontrolle: a) wahr b) falsch

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

zu a) Wir haben eine Funktion $f(x;y)$ von $\mathbb R^2\to\mathbb R$ und wissen, dass ihre partielle Ableitung nach $x$ verschwindet. Mittels Integration über $x$ finden wir:$$\frac{\partial f(x;y)}{\partial x}=0\implies f(x;y)=\text{const}+c(y)$$wobei $c(y)$ eine "Integrationskonstante" ist, die nicht von $x$ abhängt. Daher gilt:$$f(0;0)=\text{const}+c(0)\quad;\quad f(1;0)=\text{const}+c(0)\quad\implies\quad f(0;0)=f(1;0)$$

zu b) Wir suchen eine Funktion $f(x;y)$, sodass gilt:$$\binom{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}=\binom{y}{-x}$$

Wie bei (a) können wir die erste Komponente naich $x$ integrieren und erhalten:

$$\frac{\partial f}{\partial x}=y\implies f(x;y)=xy+c(y)$$mit einer "Integrationskonstanten $c(y)$, die nur von $y$ abhängen darf. Die partielle Ableitung dieser Funktion nach $y$ soll gleich $-x$ sein, also$$-x\stackrel!=\frac{\partial f}{\partial y}=x+c'(y)\implies-2x=c'(y)\quad\otimes$$Wir haben hier einen Widerspruch, da die Ableitung einer Funktion, die nur von $y$ abhängt, nicht gleich $-2x$ sein kann. Es gibt also keine Funktion $f(x;y)$ mit der gesuchten Eigenschaft.