(λA + µB) = λ Spur(A) + µ Spur(B)

Question

Aufgabe:

Für eine Matrix A = [a_ij] ∈ K^n,n heißt
Spur(A) :=$\sum\limits_{i=1}^{n}{aii}$
die Spur von A. Zeigen Sie:

i) Es gilt Spur(λA + µB) = λ Spur(A) + µ Spur(B) für alle A, B ∈ K^n,n und λ, µ ∈ K

ii) Ist A ∈ K^n,n mit p_A = $\prod_{j=1}^{n}{t-λj}$ , so gilt Spur(A) = $\sum\limits_{j=1}^{n}{λj}$

(i und j sind immer tiefgestellt)

  
Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie ich das lösen kann.

Comments

Hallo,

die erste Aufgabe löst sich durch direkte Berechnung aufgrund der Definition - ohne jeden Trick, ohne jeden Ansatz, ohne irgendeine Info...

Gruß Mathhilf

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Also wir haben die Bemerkung, dass

Spur(A + B) = Spur(A) + Spur(B) gilt

aber wie kann ich λ, µ begründen

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Also wir haben die Bemerkung, dass

Spur(A + B) = Spur(A) + Spur(B) gilt

aber wie kann ich λ, µ begründen?

mithilfe der Linearität? (f(λ · v1) = λ · f(v1).)

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Also wir haben die Bemerkung, dass

Spur(A + B) = Spur(A) + Spur(B) gilt

aber wie kann ich λ, µ begründen

Wenn das der Fall ist, ist die Aufgabe innerhalb von Sekunden durch Substitutionen

$A\mapsto \lambda \cdot A$ und $B\mapsto \mu \cdot B$, sowie anschließendem "Herausziehen" der Faktoren aus der jeweiligen Summe zu lösen.

Answer 1

(i) Es ist

$\operatorname{Spur}(\lambda A + \mu B) = \operatorname{Spur}((\lambda a_{ij} + \mu \cdot b_{ij})) = \sum\limits_{i=1}^n (\lambda a_{ii} + \mu b_{ii})$

$= \lambda \cdot \sum\limits_{i=1}^n a_{ii} + \mu \cdot \sum\limits_{i=1}^n b_{ii} = \lambda \cdot \operatorname{Spur}((a_{ij})) + \mu \cdot \operatorname{Spur}((b_{ij})) = \lambda \cdot \operatorname{Spur}(A) + \mu \cdot \operatorname{Spur}(B)$

(ii) vgl. http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Lineare_Algebra/F…

Idee: Jede Matrix $A\in K^{n,n}$ kann in Jordan-Normalform $J\in K^{n,n}$ gebracht werden, auf deren Hauptdiagonale genau die Eigenwerte $\lambda_1,...,\lambda_n$ von $A$ stehen.

Es kann dann gezeigt werden, dass $\operatorname{Spur}(A)=\operatorname{Spur}(J)=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i$.