(λA + µB) = λ Spur(A) + µ Spur(B)

Question

Aufgabe:

Für eine Matrix A = [a_ij] ∈ K^n,n heißt
Spur(A) :=\( \sum\limits_{i=1}^{n}{aii} \)
die Spur von A. Zeigen Sie:

i) Es gilt Spur(λA + µB) = λ Spur(A) + µ Spur(B) für alle A, B ∈ K^n,n und λ, µ ∈ K

ii) Ist A ∈ K^n,n mit p_A = \( \prod_{j=1}^{n}{t-λj} \) , so gilt Spur(A) = \( \sum\limits_{j=1}^{n}{λj} \)

(i und j sind immer tiefgestellt)

  
Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie ich das lösen kann.

Comments

Hallo,

die erste Aufgabe löst sich durch direkte Berechnung aufgrund der Definition - ohne jeden Trick, ohne jeden Ansatz, ohne irgendeine Info...

Gruß Mathhilf

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Also wir haben die Bemerkung, dass

Spur(A + B) = Spur(A) + Spur(B) gilt

aber wie kann ich λ, µ begründen

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Also wir haben die Bemerkung, dass

Spur(A + B) = Spur(A) + Spur(B) gilt

aber wie kann ich λ, µ begründen?

mithilfe der Linearität? (f(λ · v1) = λ · f(v1).)

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Also wir haben die Bemerkung, dass

Spur(A + B) = Spur(A) + Spur(B) gilt

aber wie kann ich λ, µ begründen

Wenn das der Fall ist, ist die Aufgabe innerhalb von Sekunden durch Substitutionen

\(A\mapsto \lambda \cdot A\) und \(B\mapsto \mu \cdot B\), sowie anschließendem "Herausziehen" der Faktoren aus der jeweiligen Summe zu lösen.

Answer 1

(i) Es ist

\(\operatorname{Spur}(\lambda A + \mu B) = \operatorname{Spur}((\lambda a_{ij} + \mu \cdot b_{ij})) = \sum\limits_{i=1}^n (\lambda a_{ii} + \mu b_{ii})\)

\(= \lambda \cdot \sum\limits_{i=1}^n a_{ii} + \mu \cdot \sum\limits_{i=1}^n b_{ii} = \lambda \cdot \operatorname{Spur}((a_{ij})) + \mu \cdot \operatorname{Spur}((b_{ij})) = \lambda \cdot \operatorname{Spur}(A) + \mu \cdot \operatorname{Spur}(B)\)

(ii) vgl. http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Lineare_Algebra/Folien_Spur.pdf

Idee: Jede Matrix \(A\in K^{n,n}\) kann in Jordan-Normalform \(J\in K^{n,n}\) gebracht werden, auf deren Hauptdiagonale genau die Eigenwerte \(\lambda_1,...,\lambda_n\) von \(A\) stehen.

Es kann dann gezeigt werden, dass \(\operatorname{Spur}(A)=\operatorname{Spur}(J)=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\).