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Hallo Zusammen ich stehe vor folgendem Problem.

Ich muss den Zähler- und Nennergrad bestimmen, um die Asymptoten einer gebrochenrationalen Funktion zu bestimmen.


Aufgabe:

x / \( \sqrt{1 - x^2} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiss, dass diese Funktion keine waagerechte Asymptote hat, jedoch bin ich mir nicht sicher, ob ich den Nennergrad korrekt bestimme. Wenn ich es richtig verstehe muss ich lediglich auf die höchste Potenz schauen und kann so den Nennergrad ablesen. Bei dieser Aufgabe verunsichert es mich aber, dass x2 unter der Wurzel steht. Ich weiss, dass dieser Term nicht weiter vereinfacht werden kann. Stehe ich daher mit meiner Annahme richtig, dass der Nennergrad "2" beträgt? Ist es wirklich so einfach, lediglich die höchste Potenz abzulesen (natürlich unter der Bedingung, dass soweit wie möglich gekürzt wurde)?


Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus :)

von

3 Antworten

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Beste Antwort

Hallo

nur bei rationalen Nenner spricht man vom "Grad" des Nenners- auch wenn es x/sqrt(1+x^2) wäre ist  der Nennergrad eher 1 als 2 denn für x->oo geht der Nenner ja nach x die Asymptpte wäre y=1 beim Nennergrad 2 also x/(1+x^2) ist die Asymptote  y=0

Gruß lul

von 65 k 🚀

Hallo lul


Besten Dank für deine Antwort.


Leider stehe ich etwas auf dem Schlauch. Auf verschiedenen Plattformen habe ich gelesen, dass zur Bestimmung des Zahl- bzw. Nennergrades jeweils die höchste Potenz gesucht wird und dann das Verhalten im unendlichen untersucht wird. Ich verstehe es hier so, dass der Zählergrad in diesem Term "1" und der Nennergrad "2" ist. Weil nun der Zählergrad nucht grösser oder gleich dem Nennergrad ist, hat diese Funktion keine waagerechte Asymptote. Ich bin mir aber nicht sicher, ob meine Überlegung / mein Vorgehen stimmt.

Ich bin euch um eine Bestätigung oder Korrekturen zu meiner Überlegung sehr dankbar.

Die vorliegende Funktion gehört eben überhaupt nicht zu den gebrochen-rationalen Funktionen. Also passen deine Überlegungen bezüglich Asymptote einfach gar nicht.

Hätte man die etwas andere Funktion

   g(x) = x / √(1 + x2 )

so wäre diese zwar für alle reellen x definiert (und ist auch nicht gebrochen-rational), aber für die Ermittlung des Grenzwertes für x → ∞  könnte man sich dann allenfalls (und nicht ganz "stubenrein") überlegen, dass der "Grad" des Nenners gleich 1 (aber nicht 2) wäre.

Konsequenz:  Der Grenzwert müsste eine konstante Zahl sein. In Tat und Wahrheit ist er einfach gleich 1 .

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f(x)  ist nur definiert für |x|<=1

-1 und 1 sind senkrechte Asymptoten

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%2F%281-x%5E2%29%5E0.5

von 61 k 🚀
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Hast du mal versucht, den Graphen zu zeichnen?

blob.png

von 103 k 🚀

Danke nochmals für eure Antworten.


Ja ich habe den Graphen der Funktion bereits angeschaut. Ich weiss, dass die Funktion keine waagerechten Asymptoten hat. Ich kann es nur nicht mit dem beschriebenen Verfahren (bestimmen von Zähler- und Nennergrad -> Vergleichen ob Zählergrad grässer oder gleich Nennergrad) nachvollziehen.

Meine Frage ist also, ob ich beim bestimmen des Zähle- und Nennergrad etwas falsch mache? Oder darf dieses Verfahren hier nicht angewandt werden? Falls es nicht angewandt werden darf, wieso nicht?


Vielen Dank

Da hat sich noch ein Fehler in meiner letzten Antwort eingedchlichen, natürlich: bestimmen von Zähler- und Nennergrad -> Vergleichen ob Zählergrad kleiner oder gleich Nennergrad.

Das 'Verfahren', von dem du sprichst, wird auf gebrochen-rationale Funktionen angewendet. Das sind Funktionen mit Polynomen in Zähler und Nenner (keine Wurzeln).

Hallo

wie schon im ersten post gesagt, das mit dem Grad von Zähler und Nenner gilt nur für rationale Funktionen.

Gruß lul

Vielen Dank für eire super Hilfe! Ich hab wohl den Wald vor lauter Bäume nicht mehr gesehen.

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