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\( \sin ^{2}(\alpha)+\cos ^{2}(\alpha)=1 \) gilt.

Hat jemand den Beweis dazu?

von

Geht das nicht am einfachsten über den Satz des Pythagoras im Einheitskreis?

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Aloha :)

Die Winkelfunktionen sind über ein rechtwinkliges Dreieck definiert. Mit der Hypotenuse \(c\), der Gegenkathete \(a\) und der Ankathete \(b\) gilt für den Winkel \(\alpha\):$$\sin\alpha\coloneqq\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac ac\quad;\quad \cos\alpha\coloneqq\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac bc$$Daher gilt für die Summe der Quadrate:$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}$$Da das Dreieck rechtwinklig ist, gilt nach Pythagoras:$$a^2+b^2=c^2$$Damit ist dann:$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

von 82 k 🚀
+2 Daumen
Geht das nicht am einfachsten über den Satz des Pythagoras im Einheitskreis?

koffi123 hat ja eigentlich schon den entscheidenden Tipp gegeben. Ich gebe hier noch lesenswerte Seiten.

https://www.matheretter.de/wiki/trigonometrischer-pythagoras

https://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrischer_Pythagoras


von 391 k 🚀

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