Question

Aufgabe: Handelt es sich bei dieser Relation um eine Äquivalenzrelation?

x≅y: <=> x^3 - y^3 = x^3 - y^3 

Problem/Ansatz: Habe ich diese Aufgabe so richtig gelöst?

reflexiv: Sei x € Z. Dann gilt x^3 - x^3 = 0 = 3x - 3x € Z. Also x≅x.

symmetrisch: Seien x,y € Z. mit x≅y. Dann gilt: y^3 - x^3 = - (x^3 - y^3) = - (3x - 3y) = 3y - 3x => y≅x

transitiv: Seien x,y,z € Z mit x≅y und y≅z., d.h. x^3-y^3 = 3x - 3y € Z und y^3 - z^3 = 3y - 3z € Z.

Dann gilt: x^3-z^3 = (x^3-y^3) + (y^3-z^3) = (3x - 3y) + (3y - 3z) = 3x - 3z => x≅z.

Comments

Hi, ich habe in der Tat einen Tippfehler in der Aufgabe. Sie sollte korrekt lauten:

x≅y: <=> x^3 - y^3 = 3x - 3y

Answer 1

Ja, so hast du das richtig gemacht :-)

Ich möchte an dieser Stelle auf einen häufig vorliegenden Hintergrund
aufmerksam machen: viele Äquivalenzen beruhen auf der Gleichheit von
Funkionswerten, so auch hier:

Sei \(f:Z\rightarrow Z,\; f(z)=z^3-3z\).
Dann ist
\(x\sim y\iff x^3-y^3=3x-3y\iff x^3-3x=y^3-3y\iff f(x)=f(y)\).

Reflexivität bedeutet also \(f(x)=f(x)\) für alle \(x\in Z\),
Symmetrie bedeutet \(f(x)=f(y)\Rightarrow f(y)=f(x)\).
Transitivität bedeutet \(f(x)=f(y)\wedge f(y)=f(z)\Rightarrow f(x)=f(z)\).

Diese drei Eigenschaften beruhen darauf, dass "\(=\)" eine Äquivalenzrelation ist.
Wenn also eine Relation durch Gleichheit von Funktionswerten definiert ist,
ist sie trivialerweise eine Äquivalenzrelation.

Gruß ermanus

Answer 2

Ja, sieht gut aus. Es wird noch offensichtlicher, wenn
man schreibt   x≅y: <=> x^3 - 3x =  y^3 - 3y