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Aufgabe:

Aus einem 4 m langen und 80 cm dicken Baumstamm soll der größtmögliche quadratische Balken herausgeschnitten werden. Berechne den Abfall!

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4 Antworten

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Die Diagonale des Balkenquerschnitts ist 80 cm.

Die Kantenlänge des Quadrats ist 80 cm / \( \sqrt{2} \)

Das Volumen des Balkens ist Quadratfläche mal 4 m.

Das Volumen des Baumstamms (Zylinder) ist Kreisfläche mal 4 m.

Die Kreisfläche ist π r2.

Der Radius ist der halbe Durchmesser.

Das Volumen des Abfalls ist gleich Volumen Baumstamm minus Volumen Balken.

von 15 k

Aber wie rechne ich dabei mit dem Satz des Pythagoras?

Wie kommst Du auf Pythagoras?

Falls dabei die zweite Zeile meiner Antwort gemeint sein sollte:

blob.png

a2 + b2 = c2                         (wobei a = b weil Quadrat)

2 a2 = c2

a2 = c2 / 2

a = c / √2


Merke: Bei einem Quadrat unterscheiden sich Kantenlänge und Diagonale immer um den Faktor \( \sqrt{2} \)

Unsere Lehrer hat uns als Tipp gegeben dass wir mit Pythagoras rechnen sollen.

Unsere Lehrer hat uns als Tipp gegeben dass wir mit Pythagoras rechnen sollen.

Woran erinnert dich denn die Gleichung a^2 + b^2 = c^2, die in der Beantwortung auftaucht?

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V = (pi·(0.8/2)^2 - 0.8^2/2)·4 = 0.7306 m³

von 391 k 🚀
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Falls nicht schon vorgegeben, dass der Querschnitt des Balkens ein Quadrat sein soll:

HB:   A(a,b)=a*b soll maximal werden.

NB:   a^2+b^2=40^2 → b^2= 40^2-a^2  → b = \( \sqrt{40^2-a^2 } \)

A(a)=a* \( \sqrt{40^2-a^2 } \)=\( \sqrt{a^2*(40^2-a^2) } \)=\( \sqrt{40^2*a^2-a^4} \)

\( \mathrm{A} \cdot(a)=\frac{3200 a-4 a^{3}}{2 \cdot \sqrt{40^{2} \cdot a^{2}-a^{4}}}=\frac{1600 a-2 a^{3}}{\sqrt{40^{2} \cdot a^{2}-a^{4}}} \)

\( \mathrm{A} \cdot(a)=0 \rightarrow \) wobei \( \sqrt{40^{2} \cdot a^{2}-a^{4}} \neq 0 \)

\( 1600 a-2 a^{3}=0 \rightarrow 800 a-a^{3}=0 \rightarrow a_{1}=0 \) oder \( a_{2}=\sqrt{800}=10 \cdot \sqrt{8}=20 \cdot \sqrt{2} \rightarrow a^{2}=800 \)

\( b^{2}=40^{2}-800=800 \rightarrow a=b \)
Somit ist der Balken quadratisch.

von 12 k

vielleicht steht ja darum in der Aufgabe

soll der größtmögliche quadratische Balken herausgeschnitten werden

Warum 40 und nicht 80?

NB: a^2+b^2=40^2

Du hast recht, es muss a^2+b^2=80^2 heißen.

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Siehe die Grafik von 2CV.
Pythagoras
a^2 + b^2 = c^2
a^2 = b^2
2 * a^2 = c^2
a^2 = c^2 / 2
a =  c / √ 2
a = 80 cm / √ 2
a = 56.57 cm
A ( Balken ) = 56.57 ^2 = 3200 cm^2
A ( Stamm ) = r^2 * pi = 40 ^3 * pi = 5027 cm^2
Abfall ( Fläche ) =  5027 minus 3200 = 1827 cm^2
V ( Abfall ) = 1827 cm^2 * 400 cm = 73062 cm^3

von 112 k 🚀

Warum rechnest du mit gerundeten Zwischenergebnissen ?

Es sollte wohl 40² heißen.

Mein TR kommt bei der letzten Multiplikation auf 730800.

Wenn mit pi gerechnet wird werden
Ergebnisse meist gerundet angegeben.

V ( Abfall ) = 1827 cm^2 * 400 cm = 730619 cm^3

Ja, klar, das Endergebnis wird ggf. gerundet, aber doch keine Zwischenergebnisse, weil die gar nicht erst ausgerechnet werden müssten.

Was sollte das bringen, wenn es nicht verlangt wird, außer mehr Schreibarbeit, Zeitverschwendung und ggf. ein ungenaueres Endergebnis?

Das Ergebnis deiner letzten Rechnung ist mathematisch immer noch falsch, denn

1827 * 400 = 730800 ≠ 730619 .

Erstaunlich, dass du mit gerundeten Zwischenergebnissen gerechnet hast und dabei auf das gleiche Endergebnis gekommen bist, wie z.B. ich, der nicht mit gerundeten Zwischenergebnissen gerechnet hat.

Hallo ernano,
das Zwischenergebnis von
a = 56.57 cm habe ich zu Konrollzwecken
angegeben

Ansonsten stimmt
gm-207.JPG

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