Wie kann man das ganze nach x auflösen?

Question

Aufgabe:

1=x/(x³-365)

Wie kann man das ganze nach x auflösen?

Comments

Multipliziere mit dem Nenner:

$x^3-365=x$.

Nun hast du eine Gleichung 3-ten Grades ...

---

x = 7.1932 Fülltext

Answer 1

Hi,

auflösen kann man das in der Schule normal gar nicht. Also nicht algebraisch.

Der beste Schritt um ein x zu finden ist mit dem Nenner zu multiplizieren und dann ein Näherungsverfahren wie bspw das von Newton zu nutzen :).

Grüße

Answer 2

Wenn du etwas nen modernen Taschenrechner benutzen darfst, kannst du die Solve-Taste verwenden.

Answer 3

Hallo:-)

Man kann sich auch mal den Spaß drauß machen und sich ein Bildchen zu malen. Aber dafür forme ich zunächst folgende Gleichung (für positive $a$) etwas um:

$$1=\frac{x}{x^3-a}\quad \Leftrightarrow\quad x^3-a=x\quad \Leftrightarrow \quad x^3=x+a$$

Skizze:

Links neben der Strecke $\overline{AS}$ ist eine grüne Senkrechte, die durch den Punkt $S=(x_S,y_S)$ geht. Diese schneidet die blaue Gerade bei $\sqrt[3]{a}$. Jetzt kannst du dir mal bildlich vorstellen, was passiert, wenn du $a$ immer größer wählst: Die grüne Senkrechte und die rote Strecke stimmen zunehmend überein. Also ist $x_S\approx \sqrt[3]{a}$ für große Werte von $a$ eine recht gute Näherungslösung für die Gleichung $x^3=x+a$.

Testen wir mal: $x_S\approx \sqrt[3]{365}\approx 7.14657$. Also

$365\approx x_S^3=x_S+a\approx 7.14657+365=372.14657$.

Das Ergebnis kann man jetzt noch durch folgende geometrische Betrachtung verbessern:

Statt die grüne Senkrechte, betrachte ich eine Tangente $f$ von $x^3$ im Punkt $A=(\sqrt[3]{a},a)$. Erhöhe ich nun wieder $a$, so wandert der Schnittpunkt $S'$ beider Geraden $f$ und $g$ in den Punkt $S$. Die $x-$ Komponente von $S'$ lautet:

$$\begin{aligned}x+a=g(x)&=f(x)=a+3\cdot a^{\frac{2}{3}}\cdot (x-\sqrt[3]{a})\\\Leftrightarrow \qquad x&=3\cdot a^{\frac{2}{3}}\cdot (x-\sqrt[3]{a})=3\cdot a^{\frac{2}{3}}\cdot x-3\cdot a\\\qquad \Leftrightarrow (1-3\cdot a^{\frac{2}{3}})\cdot x&=-3\cdot a\\ \Rightarrow \qquad x&=\frac{3\cdot a}{3\cdot a^{\frac{2}{3}}-1}\geq \frac{3\cdot a}{3\cdot a^{\frac{2}{3}}}=a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}\end{aligned}$$

Also kann man daraus schonmal eine Einschränkung zum Lösen vornehmen:

$x_S\in \left[\sqrt[3]{a},\frac{3\cdot a}{3\cdot a^{\frac{2}{3}}-1}\right]$.

Für $a=365$ bekommst du so näherungsweise $x_S\approx \frac{3\cdot a}{3\cdot a^{\frac{2}{3}}-1}\approx 7.19352$.

Testen wir mal: Also
$372.24114\approx x_S^3=x_S+a\approx 7.19352+365=372.19352$. Das sieht doch schonmal besser aus.