Berechnen sie die Abbildung von B1 nach B1

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es sei $\mathcal{B}_{1}=\left\{\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right\}$ die Standardbasis des $\mathbb{R}^{3}$ und $\mathcal{B}_{2}=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}$ die Basis mit
$$\vec{v}_{1}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \vec{v}_{2}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \vec{v}_{3}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]$$
Weiter sei $f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f(\vec{x})=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right] \vec{x}$

Berechnen sie die Abbildung von B1 nach B1

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht ganz, was genau ich machen soll. Ich habe versucht, die Einheitsmatrix des R³ mit f(x) zu multiplizieren, nur scheint mir das komplett falsch zu sein.

Comments

Die Abbildung von $B1$ nach $B1$ ist doch gegeben.

Welche Abbildung soll genau brechnet werden?

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Wo ist Diese denn gegeben? Verstehe ich die komplette Aufgabe falsch?

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Dasscheint nur ein Teil der Aufgabe?

die Abbildungsmatrix von B1 nach B2 besteht einfach aus den Vektoren vi als Spalten.

ob f für B1 oder B2 gilt ist unklar,

lul

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Komponenten der Basisvektoren $\vec v_i$ von $B_2$ sind bezüglich der Standard-Basis $B_1$ angegeben, daher können wir die Transformationsmatrix von $B_2$ nach $B_1$ sofort hinschreiben:$${_{B1}}\mathbf{id}_{B2}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$In die andere Richtung wird mittels der Inversen transormiert:$${_{B2}}\mathbf{id}_{B1}=\left({_{B1}}\mathbf{id}_{B2}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1\\0 & 1 & -1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Die Abbildungsmatrix, die rechts Eingangsgrößen bezüglich der Basis $B_1$ erwartet und links Ausgangsgrößen bezüglich der Basis $B_1$ liefert, ist uns auch gegeben:$${_{B1}}\mathbf F_{B1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1\\0 & 2 & 1\\0 & 0 & 3\end{array}\right)$$

Damit kannst du die Abbildungs-Matrizen in allen Kombinationen bestimmen.

Schau mal bitte in deine Aufgabenstellung, von welcher Basis in welche Basis du transformieren sollst und melde dich dann nochmal. Dann füge ich das noch meiner Antwort an.

Comments

Das hat meine Fragen vollkommen beantwortet, danke dir! Nicht nur hast du ${_{B1}}\mathbf F_{B1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1\\0 & 2 & 1\\0 & 0 & 3\end{array}\right)$ angegeben, sondern auch die Identität vorgelegt. Vielen Dank!