Ganzrationale Funktion f

Question

Aufgabe.

Die Funktion f(x)= x^3-2x^2+5 gibt im Intervall ]0;2[ den Verlauf einer Straße wieder. Die Straße soll im Punt P(2I5) ohne Knick geradlinig weitergeführt werden. Geben Sie die Gleichung für den weiteren Straßenverlauf an.

Problem/Ansatz:

Ich habe keinen Ansatz oder irgendetwas in der Art. Fühle mich verloren bei der Aufgabe :/ Ich bitte um Hilfe

Comments

Du könntest damit anfangen, die Funktion klar hinzuschreiben. Dann versteht man Dich, und das wäre förderlich für eine Antwort.

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Jetzt ist besser.

Die Lösung kann man sich dann etwa so vorstellen:

Answer 1

Gradlinig heißt, die Straße ist eine Gerade. Sie hat also eine Funktionsgleichung der Form

        t(x) = mx + n

und du musst m und n bestimmen.

"ohne Knick" heißt, dass die Steigung von f und die Steigung von t an der Stelle 2 gleich sein sollen:

(1)        t'(2) = f'(2).

"weitergeführt" heißt, dass h und t an der Stelle 2 den gleichen Funktionswert haben sollen:

(2)        t(2) = f(2).

Löse das Gleichungssystem aus diesen zwei Gleichungen.

    

Comments

Danke für deine Hilfe aber ich komme irgendwie trotzdem nicht weiter. Ich habs grad die ganze Zeit versucht aber leider die gnaze Zeit versagt :/

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Wie weit bist du denn gekommen?

Answer 2

Die Funktion \(f(x) = x^3-2x^2+5\) gibt im Intervall \(\left]0;2\right[\) den Verlauf einer Straße wieder. Die Straße soll im Punkt \(P(2\vert 5)\) ohne Knick geradlinig weitergeführt werden. Geben Sie die Gleichung für den weiteren Straßenverlauf an.

Gesucht ist hier offenbar eine Gleichung der Tangente im Berührpunkt \(P\left(x_p\vert f\left(x_p\right)\right)\) an \(f\) als Modellierung des weiteren Straßenverlaufs. Wir haben also ein Tangentenproblem, dass wir mit der Punkt-Steigungs-Form einer Geradengleichung lösen können. Ein möglicher Ansatz wäre dementsprechend: $$y=f'\left(x_p\right)\cdot\left(x-x_p\right)+f\left(x_p\right)$$ Die gesuchte Gleichung könnte dann so aussehen: $$y=f'(2)\cdot(x-2)+5,\quad 2\le x$$Darin muss noch \(f'(2)\) berechnet werden, der Berührpunkt war ja gegeben.

Dazu muss also gar nicht viel gerechnet werden, insbesondere müssen keine Gleichungssysteme gelöst werden.