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a) f(x)= 1/(x^2+1)+log(1/(x^2+1))+arctan(1/(x^2+1)), x element der reellen zahlen

b) f(x)= x log x - x, x>0

c) f(x)= a^x mit festem a>0, x element der reellen zahlen.

 

Bitte mit Erklärung.
von
Ist mit dem log der natürliche Logarithmus ln gemeint?
Ja. Soweit nichts anderes angegeben ist bezeichnet auch der log den natürlichen Logarithmus. So auch bei Wolfram-Alpha etc.
Wolfram-Alpha ist ein amerikanisches System.

Üblicher hier ist mE, dass log irgendwas sein kann, aber häufig für den 10er-Log verwendet wird.

ln und lg sind eindeutig definiert. LOG ist auf Taschenrechnern der 10er-Logarithmus.

1 Antwort

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a) f(x)= 1/(x^2+1) + log(1/(x^2+1)) + arctan(1/(x^2+1))

g(x) = 1/(x^2+1) = (x^2 + 1)^{-1}
g'(x) = -(x^2 + 1)^{-2} * 2x = -2x / (x^2 + 1)^2

h(x) = ln(x)
h'(x) = 1/x

h(g(x)) = ln(1/(x^2+1))
h'(g(x)) * g'(x) = 1/(1/(x^2+1)) * -2x / (x^2 + 1)^2 = (x^2+1) * -2x / (x^2 + 1)^2 = -2x/(x^2 + 1)

i(x) = arctan(x)
i'(x) = 1/(x^2 + 1)

i'(g(x)) * g'(x) = 1/((1/(x^2+1))^2+1) * -2x / (x^2 + 1)^2 (x^2+1)^2/(x^4+2 x^2+2) * -2x / (x^2 + 1)^2
-(2 x)/(x^4+2 x^2+2)

f'(x) = -2x / (x^2 + 1)^2 - 2x/(x^2 + 1) - (2 x)/(x^4+2 x^2+2)

 

b) f(x)= x * ln(x) - x

f'(x) = 1 * ln(x) + x * 1/x - 1 = ln(x) + 1 - 1 = ln(x)

 

c) f(x) = a^x = e^ln(a^x) = e^{x*ln(a)}

f'(x) = e^{x*ln(a)} * ln(a) = a^x * ln(a)

von 418 k 🚀
hab 2 mal den teil mit arctan nachgerechnet bei mir kommt dann -4x/(x^4+2x^2+2) raus.. kann aber sein dass ich mich 2 mal verrechnet habe :P

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