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Aufgabe:

Eine Kugel ist in einem Würfel eingeschrieben, der selbst in einem kreis-
förmigen Zylinder eingeschrieben ist (das heißt, dass jede Basis des ZyLinders eine Seite des Würfels enthalt, und dass die Seitenfläche des Zylinders die vier Kanten des Würfels enthält). Welcher Anteil des Volumens vom Zylinder wird von der Kugel eingenommen?


Problem/Ansatz:

Antworten:

a) 2 - \( \sqrt{3} \)

1/pi

1/3

2/5

Ein anderer Wert

von

Ansicht des stehenden Zylinders von oben (links) und von der Seite (rechts), der Zylinder ist grün, die Kugel ist blau.

blob.png

blob.png

(klick drauf!)

\(r\) sei der Radius der Kugel und \(R\) der Radius des Zylinders.

Lt. Archimedes nimmt eine Kugel \(2/3\) des Volumens des umhüllenden Zylinders ein. Da der Radius des Zylinders hier um den Faktor \(\sqrt 2\) größer ist, womit sich sein Volumen verdoppelt, bleibt als Verhältnis$$\frac{V_K}{V_Z} = \frac{1}{3}$$

3 Antworten

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Aloha :)

Der Radius der Kugel sei \(r\).

Dann ist die Seitenlänge des Würfels \(a=2r\).

Das ist gleichzeitig die Höhe \(h=a=2r\) des Zylinders.

Der Durchmesser \(2R\) des Zylinders folgt mit Pythagoras aus der Seitenlänge des Würfels:$$2R=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt2\,a=\sqrt2\cdot2r\quad\implies R=\sqrt2\,r$$

Für das gesuchte Verhältnis gilt daher:

$$\rho=\frac{V_{\text{Kugel}}}{V_{\text{Zylinder}}}=\frac{\frac43\pi r^3}{\pi R^2h}=\frac{\frac43\pi r^3}{\pi \left(\sqrt2\,r\right)^2\,2r}=\frac{\frac43\pi r^3}{4\pi r^3}=\frac{1}{3}$$

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Das Volumen des Zylinders ist

VZ = G h = Pi r2 h

Der Radius r der Grundfläche G des Zylinders ist gleich Kugelradius R \( \cdot \sqrt{2} \)

Die Höhe h des Zylinders ist gleich 2 \( \cdot \) Kugelradius R


Das Volumen der Kugel ist

VK = 4/3 Pi R3

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VK / VZ = (4/3 Pi R3) / (Pi r2 h) = (4/3 Pi R3) / (Pi 2R2 2R)

= 1/3

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Gesucht ist \(\frac{V_{\text{Kugel}}}{V_{\text{Zylinder}}}\).

Kantenlänge des Würfels sei \(a\).

Durchmesser der Grundfläche des Zylinders ist die Diagonale einer Seitenfläche des Würfels. Berechne diese mit Pythagoras. Höhe des Zylinders ist Kantenlänge des Würfels.

Durchmesser der Kugel ist die Kantenlänge des Würfels.

In die Formeln für die beiden Volumen einsetzen.

von 78 k 🚀

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