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sin(x) / cos(x)

die Integration davon ist ja

− ln (cos(x) )

ich verstehe aber nicht warum, also woher kommt auf einmal - ln?

also ich habe davor nie Brüche integriert, ich weiß nicht, ob das irgendwas damit zu tun hat.

ich weiß, dass cos(x) integriert sin(x) ist, und sin(x) -cos(x)... das erklärt aber nicht, woher jetzt ln auf einmal kommt
ich würde mich über einen Lösungsweg mit Erklärung freuen :)

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die Ableitung davon ist ja

Willst Du integrieren oder ableiten?

integrieren, sorry

Wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht oder der Zähler durch einen Faktor

zur Ableitung des Nenners wird, sollte man sofort an die ln-Funktion denken.

Das spart unnötige Arbeit und Zeit.

4 Antworten

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Beste Antwort

sin(x) / cos(x) = tan(x)

Dazu geben die Integraltafeln (z.B. Gradshteyn / Ryzhik 2.516) das Integral - ln cos x

Avatar von 43 k

Der Logarithmus kommt vom Standardintegral

\( \int \frac{1}{u} \, du = ln(u)\)

also ist es einfach so n ding, dass man auswendig können muss?

Wieso auswendig?

ich meinte die Regel mit 1/u du = ln(u)

Aha, und wieso auswendig?

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Wenn man \(\ln (g(x))\) ableitet, bekommt man mit der Kettenregel

\(\frac{g'(x)}{g(x)}\). Hat man also eine Funktion der Gestalt

\(\frac{g'(x)}{g(x)}\), dann ist \(\ln(g(x))\) eine Stammfunktion.

Mit \(g(x)=\cos(x)\) wird \(\frac{sin(x)}{\cos(x)}=-\frac{-\sin(x)}{cos(x)}=-\frac{(\cos(x))'}{\cos(x)}\).

Folglich ist \(-\ln(\cos(x))\) eine Stammfunktion.

Dies Thema läuft unter dem Stichwort "logarithmische Ableitung".

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Hallo,

∫ \( \frac{sin(x)}{cos(x)} \) dx

Substituiere :

z=cos(x)

dz/dx= - sin(x)

dx= \( \frac{dz}{- sin(x)} \)

eingesetzt in den Integranden:

kürze zuerst sin(x)

->

= - ∫\( \frac{dz}{z} \)

= - ln|z|+C , Resubstituiere

= - ln|cos(x)| +C

Avatar von 121 k 🚀
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∫ SIN(x) / COS(x) dx

Substitution
z = COS(x)
1 dz = -SIN(x) dx → dx = -1/SIN(x) dz

∫ SIN(x) / z dx
∫ SIN(x) / z * (-1)/SIN(x) dz
∫  - 1/z dz
- ∫  1/z dz
- LN(|z|) + C

Resubstitution

- LN(|COS(x)|) + C

Avatar von 477 k 🚀

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