Elementare Logik Beispiel

Question

Seien A, B ⊂ X. Beweisen Sie die beiden Identitäten
(a) X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B) und
(b) X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B).

Danke im Voraus

Answer 1

Sei z ∈ X \ (A ∪ B)

<=>   z ∈  X    ∧   z ∉   (A ∪ B)

<=>  z ∈  X   ∧  ( z ∉ A und ∧  z ∉  B )   

Idempotenz von  ∧

<=>  ( z ∈  X   ∧  z ∈  X)     ∧ ( z ∉ A und ∧  z ∉  B ) 

Assoziativität und Kommutat. von ∧

<=>  (z ∈  X   ∧   z ∉ A )    ∧  (z ∈  X  ∧  z ∉  B )

<=>  z ∈ X \ A    ∧      z ∈ X \ B

 <=>      z ∈ (X \ A) ∩ (X \ B)