Das Logistisch Modell Numerik

Question

Aufgabe:

Es bezeichne $y(t)$ die Größe einer Population zur Zeit $t, w>0$ eine Wachstumskonstante und $K>0$ die konstante Kapazität des Lebensraums. Für das Populationswachstum schlug Verhulst (1838) die Differentialgleichung

$y^{\prime}(t)=w \cdot y(t) \cdot\left(1-\frac{y(t)}{K}\right)$
vor. Anfangswerte werden o.E.d.A. bei $t=0$ vorgegeben.

a) Lösen Sie das Anfangswertproblem $y(0)=y_{0}$ mit $0 \leq y_{0} \leq K$ durch Trennung der Veränderlichen. Eine Formelsammlung für unbestimmte Integrale darf dabei verwendet werden.

b) Wie ist das Verhalten der Lösung $y(t)$ für $t \rightarrow+\infty$, falls $0<y_{0}<K$ gilt?

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte unbedingt dabei helfen?

Danke im Voraus! :)

Comments

könnte mir jemand bitte unbedingt dabei helfen?

Ja. Du musst als erstes den notwendigen Ansatz zur Trennung der Variablen aufschreiben. Wie sieht der in der konkreten Aufgabe aus?

---

Danke erstmal für deine Antwort!

Könntest du bitte mit der Lösung anfangen? dann könnte ich wahrscheinlich die Lösung selbst weiter machen

---

Schreibe statt y(t)' den "Bruch" $\frac{dy}{dt}$ und multipliziere die Gleichung mit dt.

Vorher solltest du $w \cdot y(t) \cdot\left(1-\frac{y(t)}{K}\right)$ noch ausmultiplizieren.

---

Ja dann bekommen wir

dy = (w * y(t) * (y(t)² ) / k) dt

müssen wir jetzt das Integral in beiden Seiten berechnen oder?

---

dy = (w * y(t) * (y(t)² ) / k) dt

Nein. Wenn du den Vorfaktor mit einer Klammer multiplizierst, in der eine Differenz steht, dann sollte nach dem Ausmultiplizieren der Klammer eine Differenz von zwei Produkten dort stehen.

---

Ja ich habe mich verschrieben

dy = (w * y(t) - (y(t)² ) / k) dt

Jetzt beide seiten integrieren?

wenn ja wie kann ich die rechte Seite integrieren? das ist bisschen kompliziert

---

Das ist immer noch falsch, weil nicht die gesamte Differenz durch k geteilt wird, sondern nur der Subtrahend.

wenn ja wie kann ich die rechte Seite integrieren?

Wie in der Aufgabenstelung vorgegeben:

Eine Formelsammlung für unbestimmte Integrale darf dabei verwendet werden.

---

Ja du meintest so oder :

y(t) - $\frac{y(t)²}{k}$

was wird mit der Formelsammlung gemeint?

Könntest du mir bitte zeigen wie die rechte Seite dann aussieht?

---

was wird mit der Formelsammlung gemeint?

Das ist eine Tabelle, in der die gebräuchlichsten Stammfunktionen stehen.

Wenn du sowas noch nicht hast:

https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_von_Ableitungs-_und_Stammfunkt…

---

Wir haben $\int\limits_{}^{}$ dy = $\int\limits_{}^{}$ (w * y(t) - $\frac{y(t)²}{k}$ ) dt

Dann bekommen wir y = $\frac{1}{2}$ (w * y(t))² - $\frac{1}{3k}$ y(t)³ + C

Richtig?

---

Hallo @abakus, Könntest du mir bitte antworten wenn du zeit hättest

Ich weiß noch nicht ob meine Lösung richtig ist..

Danke im Voraus! :)

Answer 1

Ich denke die Lösung steht hier

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion

Comments

Hallo Ullim, Ist meine Lsung richtig ? :

Wir haben $\int\limits_{}^{}$ dy = $\int\limits_{}^{}$ (w * y(t) - $\frac{y(t)²}{k}$ ) dt

Dann bekommen wir y = $\frac{1}{2}$ (w * y(t))² - $\frac{1}{3k}$ y(t)³ + C

---

nein die Lösung ist nicht richtig. Gehe doch wie in dem Link beschrieben vor. Da steht alles genau drin.