Vektoren linear abhängig genau dann wenn Det = 0 Beweis

Question

Aufgabe

Seien x = (x1, . . . , xn)^t   und y = (y1, . . . , yn)^t
Vektoren ungleich dem Nullvektor im Kⁿ
.
Zeigen Sie, dass x und y genau dann linear abhängig sind, wenn

det=

xi	yi
xj	yj

= 0

Problem/Ansatz:

Also ich habe generell Probleme bei dem Beweisen:

Hier würde ich so voran gehen , ich würde die Hin und Rückrichtung beweisen. Für die Hinrichtung würde ich in diesem Falle die Definition von Linearer Abhängigkeit benutzten und für die Rückrichtung am besten mit der Kontraposition arbeiten .

⇒ Zwei Vektoren x und y sind genau dann linear abhängig, wenn es Skalare a1,a2 gibt, die nicht beide 0 sind und für die a1*x und a2*y = 0 gilt.

Wie kann ich weitermachen? Inwiefern hilft mir diese Definition daraus zu Folgern, dass die Determinante = 0 sein muss.

Und wie genau arbeite ich mit der Rückrichtung.

Danke für jede Hilfestellung und liebe Grüße

Comments

Muss nicht angegeben sein, dass die Determinante für alle Paare

$i,j$ mit $i\neq j$ betrachtet werden soll?

---

Oh ja in der Aufgabenstellung steht noch :

für alle i, j ∈ {1, . . . , n} gilt.

Answer 1

Zwei Vektoren x und y sind genau dann linear abhängig, wenn es Skalare a1,a2 gibt, die nicht beide 0 sind und für die a1*x und a2*y = 0 gilt.

Das und ist wohl ein +

a1*x  +   a2*y = 0

Da einer der Skalare nicht 0 ist (sagen wir mal a1)

hat man x =  -a2/a1 * y

oder kurz: Es gibt einen Skalar c mit

  x = c*y ==>    (x1, . . . , xn)^t  =   c *(y1, . . . , yn)^t  =   (c*y1, . . . , c*yn)^t

Wenn du jetzt 2 Indizes i und j rauspickst, ist die Matrix

$$\begin{pmatrix} x_i & y_i \\ x_j & y_j \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_i & c*x_i \\ x_j & c*x_j \end{pmatrix}$$

Also die Determinate $$x_i*c*x_j - c*x_i * x_j =0$$

Umgekehrt, wenn alle diese Determinanten 0 sind kann man wohl so argumentieren:

Da x nicht der Nullvektor ist, gibt es jedenfalls eine

Komponente ( sagen wir mal x₁ ) die nicht 0 ist.

Betrachte nun zwei Indizes i, j ( beide nicht 1 ) und die

Determinanten  $$\begin{pmatrix} x_1 & y_1 \\ x_j & y_j \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} x_1 & y_1 \\ x_i & y_i \end{pmatrix}$$

Beide sind 0 , also gilt $x_1*y_j = y_1 * x_j$ und $x_1*y_i = y_1 * x_i$

Da x₁ nicht 0 ist :

==>    $y_j = \frac {y_1}{x_1}*x_j$  und $y_i = \frac {y_1}{x_1}*x_i$

Weil das für alle i,j gilt ist also $c = \frac {y_1}{x_1}$   ein Faktor c,

für den gilt y = c*x , also sind x und y lin. abhängig .

Comments

Sehr schöne Lösung :-)

---

Super , danke sehr einleuchtend