Folgen auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz prüfen.

Question

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Aufgabe 3 (3+3+1 Punkte) Untersuchen Sie die folgenden beiden Folgen $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ und $\left(b_{n}\right)_{n \geq 0}$ auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz. Bestimmen Sie im Fall von konvergenten Folgen den Grenzwert.
a) $a_{n}:=\frac{n^{2}+\left(\cos ^{2}(\sqrt{4 n})+\sin ^{2}(2 \sqrt{n})\right)}{n}$
b) $b_{n}:=\sum \limits_{k=0}^{n}(-1)^{k} 2^{-k}$
c) Finden Sie ein Beispiel für zwei Folgen $\left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right)$, sodass gilt: $\left(a_{n}\right)$ konvergiert, $\left(b_{n}\right)$ konvergiert und $\left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right)$ divergiert.

Comments

Bei a) solltest Du zunächst einmal scharf hinschauen, der Aufgabensteller scheint ein humorvoller Mensch zu sein. Bei b) handelt es sich um eine geometrische Summe.

Gruß Mathhilf

Answer 1

Zu b): die Folge scheint nicht monoton zu sein, da die Summe abwechselnd aus Differenzen und Summanden besteht. Die Reihe konvergiert nach Leibniz, da 1/2^k eine monotonfallende Nullfolge ist und beschränkt ist die Folge für n nach unendlich auch. Beschränkt ist sie auch und der Grenzwert liegt bei 2/3.

Zu c): an=1/n bn=1/n² und an/bn=1/n/1/n²= 1/n * n² = n, divergiert für n nach unendlich