Beweise durch Induktion den folgenden Ausdruck

Question

Aufgabe:

Ich soll für 1-4+9-+…+(-1)^(n+1)n^2 einen Summenausdruck finden und dann anhand von induktion beweisen? Bzw. soll ich auch eine gesätzmäßigkeit finden, die für den oben genannten ausdruck zutrifft und den anhamd induktion beweisen.

Problem/Ansatz:

Ich wär sehr dankbar, wenn mir wer helfen könnt, ich komm nicht weiter

Answer 1

Gruppiere die Summenglieder, z.B. ist bei \(2\)-er Gruppierung

\(1-4 = -3 = 1 - 1\cdot 4\),

\(9-16=-7 = 1 - 2\cdot 4\),

\(25-36=-11 = 1 - 3\cdot 4\),

\(49-64=-15 = 1 - 4\cdot 4\),

usw.

Du siehst offenbar, dass sich die Differenz immer um \(4\) verringert.

Für gerade \(n\) gibt es genau \(\frac{n}{2}\) solche \(2\)er-Gruppen und es folgt dann

\(\sum\limits_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} i^2 = \sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{2}} 1-i\cdot 4 = \frac{n}{2} - 4\cdot \sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{2}}i = \frac{n}{2} - 4\cdot \frac{(\frac{n}{2})(\frac{n}{2}+1)}{2} = -n\cdot \frac{n+1}{2}\).

Für ungerade \(n\) ist \(n-1\) gerade, d.h. du kannst \(\frac{n-1}{2}\) Zweiergruppen bilden und musst lediglich den letzten Term (gerade) addieren, also folgt

\(\sum\limits_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} i^2 = n^2 + \sum\limits_{i=1}^{n-1} (-1)^{i+1} i^2 \overset{analog \ s.o.}{=} n^2 + (-\frac{n-1}{2}\cdot (n-1+1)) = n^2 + (-\frac{n-1}{2}\cdot n) = n\cdot \frac{n+1}{2}\).

Also musst du per Induktion über \(n\in \mathbb{N}\) beweisen, dass

\(\sum\limits_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} i^2 = \begin{cases} -n\cdot \frac{n+1}{2}, \ \text{n gerade} \\ n\cdot \frac{n+1}{2}, \ \text{n ungerade} \end{cases}\), bzw. einheitlich dann

 \(\sum\limits_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} i^2 = (-1)^{n+1} \cdot n \cdot \frac{n+1}{2}\).

Comments

Ok also ich verstehe die gruppierungen und warum n-1/2 die ungeraden und n/2 die geraden sind, aber die ganzen umformungen gehn mir nicht ein? Bei den geraden versteh ich nicht, warum …*(n/2)*(n/2+1) /2 usw… und bei den ungeraden bereits den beginn nicht

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Habe die genaueren Vereinfachungen der Kürze (und da sie für die Aufgabe von geringer Bedeutung sind) halber weggelassen.

Hier sehr ausführlich für den Fall "\(n\) ist gerade":

\(\begin{aligned}\sum\limits_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} i^2 &= \sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{2}} 1-i\cdot 4 \\&= \frac{n}{2} - 4\cdot \sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{2}}i \\ &= \frac{n}{2} - 4\cdot \frac{(\frac{n}{2})(\frac{n}{2}+1)}{2} \\ &= \frac{n}{2} -2 \cdot \frac{n}{2} \cdot \left(\frac{n}{2}+1\right) \\ &= \frac{n}{2} \cdot \left(1-2\cdot \left(\frac{n}{2} +1\right)\right) \\ &= \frac{n}{2} \cdot (-n-1) = -\frac{n}{2} \cdot (n+1)\end{aligned}\)

Ausführlich für den Fall "\(n\) ist ungerade":

Für eine ungerade Anzahl an Summengliedern geht die \(2\)er-Gruppierung ja offensichtlich nicht auf, da am Ende ein Summand alleine steht.

Bsp. der Summen für ungerade \(n\):

\(n=1\) => \(1\),

\(n=3\) => \((1-4)+9\),

\(n=5\) => \((1-4)+(9-16)+25\)

usw.

Aber du siehst doch, dass es (insofern du den alleinstehenden Summanden vernachlässigst) wieder nur \(2\)er-Gruppen gibt.

Also ziehst du den letzten Summanden aus der Summe raus (der ist im Übrigen immer positiv) und betrachtest die restlichen \(n-1\) Summanden in \(\frac{n-1}{2}\) Zweiergruppen.

Für die haben wir ja oben bereits den Ausdruck vereinfacht (d.h. du brauchst dort lediglich statt \(n\) eben \(n-1\) einsetzen => "analog s.o.").

Formal (\(n\) ist ungerade):

\(\begin{aligned}\sum\limits_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} i^2 &= n^2 + \sum\limits_{i=1}^{n-1} (-1)^{i+1} i^2 \\ &\overset{analog \ s.o.}{=} n^2 + (-\frac{n-1}{2}\cdot (n-1+1)) \\ &= n^2 + (-\frac{n-1}{2}\cdot n) \end{aligned}\)

Und dann ist letztlich

\( n^2 + (-\frac{n-1}{2}\cdot n) = n\cdot (n - \frac{n-1}{2}) = n\cdot (\frac{2n}{2} - \frac{n-1}{2}) = n\cdot \frac{n+1}{2}\)

Möchte an dieser Stelle noch betonen, dass die Ausführungen lediglich Überlegungen sind, wie man auf die explizite Darstellung der Summe kommen könnte.

Neben der Gruppierung gäbe es natürlich auch die Idee, die Summe in zwei Teilsummen zu unterteilen (nämlich eine Summe über die positiven Summanden und eine über die negativen).

Deine eigentliche Aufgabe ist es dann per Induktion zu beweisen, dass die Summe tatsächlich diese explizite Darstellung hat.

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Ok, jz is es viel klarer, danke für die ausführlichen erklärungen ich schätz das wirklich sehr!

Ich bin jz bei der induktion, ich hab jz stehen: (-1)^(n+1) *n*((n+1)/2) + (-1)^(n+2) *(n+1)^2 wie komm ich da jz zum ende ds beweis, ausmultipliziern oda? Mich irritiert das -1 ziemlich

Ich habs mal versucht aba denk nicht das das stimmt: ich schreibs ab dem punkt wo ich die voraussetzung verwendet habe:

((-1)ⁿ⁺¹ *n²+n)/2 +((-1)ⁿ⁺² *2(n+1)²)/2=

(((-1)n+1 *n²+n)+((-1)ⁿ⁺² *2(n+1)²))/2=

(-1)^{n+2 *} ((n²+n+2n+2))/2=

(-1)ⁿ⁺²* ((n² +3n+2))/2= (-1)ⁿ⁺² *(n+1)*(n+2)/2

Ich hab das gefühl als wärs komplett falsch.

Ich würde aber dazuschreiben, dass eben der teil vor dem letzten = die behauptung ist, wenn mans ausmultipliziert, das dürfen wie nämlich

Answer 2

a1 = 1

a2 = 1 - 4 = -3

a3 = -3 + 9 = 6

a4 = 6 - 16 = -10

a5 = -10 + 25 = 15

Wenn man sich die Beträge der Folgeglieder ansieht, ist die zweite Differenzenreihe konstant und sie kann über eine quadratische Funktion modelliert werden.

an = 1/2·n·(n + 1)·(-1)^(n + 1)

Dann braucht nur noch die vollständige Induktion gemacht werden.

Comments

Die hab ich oben hingeschrieben, aber die is glaub ich falsch oder? Aja und danke dir auch