Komplexe Zahlen Aufgaben

Question

(a) Beweisen Sie die Parallelogramm-Identität: Für \( z, w \in \mathbb{C} \) gilt

\( |z+w|^{2}+|z-w|^{2}=2\left(|z|^{2}+|w|^{2}\right) \)

(b) Für \( z \in \mathbb{C} \backslash(-\infty, 0] \) sei

\( f(z):=\sqrt{|z|} \frac{z+|z|}{|z+| z||} \)

Zeigen Sie \( f(z)^{2}=z . \) Bestimmen Sie ferner alle Lösungen \( w \in \mathbb{C} \) der Gleichung \( w^{2}=z \).

(c) Es seien \( A:=\{z \in \mathbb{C} \backslash\{0\}:|z-i|<1\} \) und \( f: \mathbb{C} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{C} \backslash\{0\}, f(z)=\frac{1}{z} . \) Bestimmen und skizzieren Sie die Bildmenge \( f(A):=\{f(z): z \in A\} \).

Leider komme ich nicht mehr weiter bei den Aufgaben hier. Die (a) habe ich grad noch so geschafft, aber danach ging nichts mehr. Bitte um Hilfe.

Answer 1

\( f(z):=\sqrt{|z|} \frac{z+|z|}{|z+| z||} \)

==>  \( f(z)^2 =|z| \frac{z^2 +2z|z|+|z|^2}{|z+| z||^2} \)

Bedenke \( |z|^2 = z \cdot \overline{z} \). Also gilt

\(  =|z| \frac{z^2 +2z|z|+|z|^2}{(z+| z|) \cdot \overline {z+| z|}} \)

\(  =|z| \frac{z^2 +2z|z|+|z|^2}{(z+| z|) \cdot (\overline {z}+\overline {| z|})} \)

Aber |z| ist reell, also gleich seinem konjugierten

\(  =|z| \frac{z^2 +2z|z|+|z|^2}{(z+| z|) \cdot (\overline {z}+| z|)} \)

\(  =\frac{|z| z^2 +2z|z|^2+|z|^3}{z\overline {z}+z| z|+|z|\overline {z}+| z|^2} \)

\(  =\frac{|z| z^2 +2z|z|^2+|z|^3}{z\overline {z}+z| z|+|z|\overline {z}+z\overline {z}} \)

\(  =\frac{|z| z^2 +2z|z|^2+|z|^3}{2z\overline {z}+z| z|+|z|\overline {z}}\)

Und es ist ja |z|^3 = |z||z|^2= \( |z| z \cdot \overline{z} \) also

\(  =\frac{|z| z^2 +2z|z|^2+|z| z \cdot \overline{z} }{2z\overline {z}+z| z|+|z|\overline {z}}\)
Jetzt im Zähler z ausklammern

\(  =z \cdot \frac{|z| z +2|z|^2+|z| \cdot \overline{z} }{2z\overline {z}+z| z|+|z|\overline {z}}\)

Und der Bruch hat den Wert 1. q.e.d.