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Hallo liebe Mitglieder :)

Es geht um die algebraische Struktur einer Gruppe: M=(M,*,e)

Die Gruppe ist assoziativ, das neutrale Element sei e so dass gilt

a*e=a  für alle a,e∈M und es gibt ein ã so dass

a*ã=e  mit ã∈M.


Die Frage lautet: Wenn gilt a*a=e dann gilt auch a*b=b*a für alle a,b∈M. Beweisen sie.


Problem/Ansatz:

Ich schiebe schon die ganze Zeit die a und b hin und her und versuche mit e zu ersetzen aber komme auf keine Schlussfolgerung. Hatte überlegt:

a*a=e

⇒ a*a=a*ã

⇒ a=ã

⇒ a*b=b*ã...  vermutlich ergibt das kein Sinn bzw. hilft nicht weiter...

Freue mich über Hilfe bzw. eine Lösung.

Vielen Dank vorweg!

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In Wenn gilt a*a=e dann gilt auch a*b=b*a für alle a,b∈M müssen die Quantoren eindeutiger gesetzt werden. Es ist jedenfalls nicht so, dass aus a2=e folgt, dass a mit allen anderen Gruppenelementen kommutiert.

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

wenn a2=aa=ea^2=a*a=e gilt, dann kannst du von links mit a~\tilde{a} verknüpfen und hast a=a~a=\tilde{a}. Analog b=b~b=\tilde{b}. Dann gibt aber auch ab=ab~ab=\widetilde{ab} und damit: ab=ab~=b~a~=baab=\widetilde{ab}=\tilde{b}\tilde{a}=ba

Avatar von 28 k

Okay vielen Dank!

Da wäre ich so nicht drauf gekommen :)

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