(a):
Ich zeige \(x_n\gt 1/2\Rightarrow x_{n+1}\gt 1/2\).
\(x_n\gt 1/2\Rightarrow 4x_n> 2\Rightarrow \frac{1}{4x_n}\lt 1/2\Rightarrow\)
\(x_{n+1}=1-\frac{1}{4x_n}\gt 1-1/2=1/2\).
(b):
\(x_{n+1}-x_n=1-\frac{1}{4x_n}-x_n=\frac{4x_n-1-4x_n^2}{4x_n}=\)
\(-\frac{4x_n^2-4x_n+1}{4x_n}=-\frac{(2x_n-1)^2}{4x_n}\lt 0\), da \(x_n\gt 1/2\).
Zu (c):
Da die Folge monoton fällt und nach unten beschränkt ist,
konvergiert sie.