Wendepunkt der Funktion f(x)=e^(2x)*ln(2x)

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die Funktion f(x) = e^2x · ln(2x) im Bereich 0≤x≤0,5 einen Wendepunkt besitzt.

(Teilergebnis: f'(x) = e^2x · (2 · ln(2x) + 1/x)

Probem/Ansatz:

Die zweite Ableitung konnte ich (hoffentlich korrekt) aufstellen:

f''(x) = e^2x · (4 · ln(2x) + $\frac{4x - 1}{x²}$ )

Aber ab 0 = 4 · ln(2x) + $\frac{4x - 1}{x²}$  bin ich mit meinem Latein am Ende.

Comments

der Hinweis liegt in der Ungleichung 0<x<=0.5 Stichwort vorzeichenwechsel

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die zweite Ableitung hast du richtig bestimmt:$$f''(x)=e^{2x}\left(4\ln(2x)+\frac4x-\frac{1}{x^2}\right)$$Zum Nachweis eines Wendepunktes bei $x_0\in(0|\frac12]$ muss die zweite Ableitung der Funktion in diesem Bereich eine Nullstelle haben. Wegen$$f''\left(\frac14\right)=e^{\frac12}\left(4\ln\left(\frac12\right)+\frac{4}{\frac14}-\frac{1}{\frac{1}{16}}\right)=-4\sqrt e\ln(2)<0$$$$f''\left(\frac12\right)=e^{1}\left(4\ln\left(1\right)+\frac{4}{\frac12}-\frac{1}{\frac{1}{4}}\right)=4e>0$$und der Stetigkeit von $f''(x)$ nimmt die zweite Ableitung im Intervall $\frac14\le x\le\frac12$ jeden Wert zwischen $-4\sqrt e\ln2$ und $4e$ an (Zwischenwertsatz). Insbesondere gibt es daher ein $x_0\in(\frac14|\frac12)$ für das gilt $f''(x_0)=0$. Zusätzlich wechselt die zweite Ableitung an dieser Stelle $x_0$ ihr Vorzeichen, sodass dort tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt.

Die Funktion $f(x)$ besitzt also im Intervall $(\frac14|\frac12)$ tatsächlich einen Wendepunkt.

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f₁(x) = e^(2x)·ln(2x)P(0,296|-0,948)Zoom: x(0…0,8) y(-3…2)

Comments

Nicht die Funktion muss eine Nullstelle haben, sondern deren zweite Ableitung.

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Danke dir, habe es korrigiert.

Answer 2

oder näherungsweise (z.B. Newtonverfahren) gibt ca. x=0,296.