Zeigen, dass die Gleichung eine Lösung hat und Eigenschaften einer Funktion?

Question

Guten Abend,
ich muss morgen eine Leistung erbringen, verstehe jedoch eine Übung garnicht und bin schon am verzweifeln.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Zu der a) habe ich garkeinen eigenen Ansatz...

b) :
Für den Beweis der strengen Monotonie habe ich die 1.Ableitung bestimmt: 2021 * x²⁰²⁰+ 1
Wie zeige ich jetzt damit aber die Monotonie?

Für den Beweis der Stetigkeit habe ich es mir so gedacht, dass man den rechts- und linksseitigen Limes bezüglich x=0   betrachtet. Also: lim(x -> 0+) x²⁰²¹ + x = 0 und lim(x -> 0-) x²⁰²¹ + x = 0.
Wie zeigt man das aber für den gesamten Definitionsbereich?

Zur Surjektivität habe ich leider keine Ahnung, da mein Versuch y = x²⁰²¹ + 1 nach x ,umzustellen, nicht funktioniert hat.


Für Hilfe bin ich sehr dankbar.

Comments

ich muss morgen eine Leistung erbringen
Warum stellst du solche Fragen nicht 1 Tag
früher ?

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ich muss morgen eine Leistung erbringen
Warum stellst du solche Fragen nicht 1 Tag
früher ?

Weil es dann mit "übermorgen" einen längeren Text gebraucht hätte.

Answer 1

a) Sei $f(x) = \mathrm{e}^{2x}-2 - x^{2021}$.

Dann ist $f(0) < 0$ und $f(1) > 0$.

Weil f auf $[0,1]$ stetig ist, gibt es aufgrund des Zwischenwertsatzes ein $\xi\in (0,1)$ mit $f(\xi)=0$.

b) $f$ ist streng monoton steigend, weil $f(x) > 0$ für jedes $x \in \mathbb{R}$ ist (Monotoniesatz).

$f$ ist stetig weil $f$ eine Polynomfunktion ist und Polynomfunktionen stetig sind.

$f$ ist surjektiv, weil $f$ stetig ist und $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = -\infty$ und $\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = \infty$ ist.