euklidischer Vektorraum: Identität beweisen und skizzieren

Question

Aufgabe: Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum, $x, y \in V$ und $\alpha$ der Winkel zwischen $x$ und $y$. Beweisen Sie die Identität:

$\|x-y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 -2\cdot \|x\|\cdot \|y\| \cos(\alpha)$

Veranschaulichen Sie die Identität für $V = \mathbb{R}^2$ durch eine Skizze.

Problem/Ansatz: Ich übe zur Zeit für meine anstehende Klausur, jedoch weiß ich einfach nicht, wie ich die Aufgabe lösen kann :/. Wäre froh über ein paar Antworten :)

Answer 1

Hallo :-)

Nutze die Definition für Winkel zweier Vektoren $x,y\in V$:

$\cos(\alpha)=\frac{\langle x,y \rangle}{\|x\|\cdot \|y\|}$, bzw.,  $\langle x,y \rangle=\cos(\alpha)\cdot \|x\|\cdot \|y\|$.

Betrachte jetzt

$$\|x-y\|^2=\langle x-y,x-y\rangle=...$$

Comments

Danke erstmal für die Antwort. Allerdings weiß ich nicht so ganz weiter. Wäre hilfreich, wenn Sie mir noch weiter helfen könnten...

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Rechne doch einfach das Skalarprodukt $\langle x-y,x-y\rangle$, indem du die bekannten Rechengesetze benutzt.