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In- und Umkreis eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 begrenzen einen Kreisring der Fläche A.

In- und Umkreis eines regelmäßigen Sechsecks mit der Seitenlänge 1 begrenzen einen Kreisring der Fläche B.

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Hallo Roland,

Die Fläche FF eines Kreisrings mit Innendurchmesser rir_i und Außendurchmeser rar_a istF=ra2πri2π=(ra2ri2)πF=r_a^2\pi - r_i^2\pi = (r_a^2-r_i^2)\pi

blob.png

oben im Bild ist die Ecke eines regelmäßigen N-Ecks mit In- und Umkreis dargestellt. Die Seitenlänge sei PQ=s|PQ|=s. Im rechtwinkligen Dreieck MQC\triangle MQC giltri2+(s2)2=ra2    (s2)2=ra2ri2r_i^2 + \left(\frac s2\right)^2 = r_a^2 \implies \left(\frac s2\right)^2 = r_a^2-r_i^2Daraus folgt die Fläche des KreisringsF=(s2)2πF= \left(\frac s2\right)^2\piDie Kreisringe zweier regelmäßiger Polygone mit gleicher Seitenlänge ss haben also den identischen Flächeninhalt    BA=1\implies \frac BA = 1Gruß Werner

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Hallo,

Quadrat:

der Radius des Innenkreises r1= 1/2

der Radius des Aussenkreises r2 = 1/2 1²+1² \sqrt{1²+1²}   -> 1/2 *2 \sqrt{2}

nun ist A( Kreising)  :   A=  π (r22 - r2 1 )

Sechseck

für den Innenkreis die Höhe des gleichseitigen Dreieckes bestimmen

h= 1²1/2² \sqrt{1² -1/2²}    das ist nun der Radius des Innenkreises , der Aussenkreis hat die Länge r = 1

nun wie oben verfahren und die Differenz bilden

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Ich komme auf:

B/A = pi·(12 - (√3/2)2) / (pi·((√2/2)2 - (1/2)2)) = 1

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