Reihenkonvergenz mit Wachstumsverhalten in Zusammenhang bringen

Question

Aufgabe:

Konvergente Reihe ∑a_n und a_n > 0 für alle n aus N. Dann fällt a_n um einen polynominellen Faktor schneller als 1/n.

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 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, ...

ist eine konvergente Reihe ∑an und an > 0 für alle n aus N.

a_n fällt um den Faktor 1/2 auf a_n+1.

Insbesondere auch a₅ um der Faktor 1/2 auf a₆.

Wie kann a₅ dann um einen polynominellen Faktor schneller als 1/5 fallen?

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Hast Du eine formelmäßige Definition für "um einen polynominellen Faktor schneller fallen"?

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Mhm ich würde das so definieren: f: N—> R mit f(n) = an und f muss dann in o (n^-1-ε ) Für ein epsilon > 0 liegen…

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Hallo Roland, ich glaube du hast das mit dem Wachstum falsch verstanden… die Reihe die du angegeben hast ist doch an= (1/2)ⁿ und das wird um einen polynomiellen Faktor schneller fallen als 1/n …

Answer 1

Hallo,

ich halte diese Aussage inzwischen für falsch. Betrachte die Folge $(a_n)$ mit

$$a_n:=\frac{1}{n} \text{ falls }n=2^k \qquad a_n:=\frac{1}{n^2} \text{ sonst}$$

Die Reihe über die $a_n$ konvergiert, aber die Folge $(a_n)$ fällt nicht schneller als $(1/n)$, weil eben immer mal wieder $a_n=1/n$ ist.

Gruß Mathhilf

Comments

Okay perfekt vielen Dank :)

Ich habe bei meiner Aufgabenstellung eine Voraussetzung vergessen… man sollte eigentlich noch monoton fallend voraussetzen :(