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Aufgabe: Ein Flächenstück A wird brandet durch die x-Achse und die folgenden Kurven:

y=4*sin(2x)

x=0 ; X=π/2

Berechnen Sie die Schwerpunktskoordinate xs dieser Fläche mittels Integration


Ansatz: Stimmt mein Ansatz so und ist die Aufgabe so richtig?

Die Fläche des Flächenstücks A habe ich bereits mittels Integration errechnet:

A=4,0 FE

Nun y in die nachfolgende Formel für den Schwerpunkt xs und Integrieren:

$$ x_{s}=\frac{\int \limits_{0}^{π/2}x*y*dx}{4,0}=\frac{2x*cos(2x)-sin(2x)|^{π/2}_{0}}{4,0} $$


Daraus erhalte ich:

$$ x_{s}=\frac{3,0821-0}{4,0}=0,7705 $$

von

2 Antworten

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Hallo

dein Zahlenwert müsste doch π/4 sein, das sieht man da es die Symmetrielinie ist auch ohne Integration,

wie kommst du auf die 3.087?  cos(π)=1 also einfach 2x=π

Gruß lul

von 93 k 🚀

Der Zahlenwert bzw. die Grenze π/2 ist so in der Aufgabenstellung vorgegeben.

Ich komme auf die 3.087 indem ich π/2 in die Formel einsetze.

Wie du selbst sagst ergibt  2*π/2=π. Das in jetzt in die Formel komplett im TR eingesetzt erhalte ich 3.08206... Angemerkt ich habe mein TR in Grad..muss ich hier in Rad umstellen?

Den TR in Rad eingestellt erhalte ich: -π

Hallo

Funktionen von sin und cos sind immer in reellen Zahlen also rad- aber cos(π) und sin (π) sollte man ohne TR wissen! In deinem Integral ist ein Vorzeichenfehler  richtig ist das negative deines Ergebnisses.

Ausserdem sollte man auch einfach sehen dass  S auf der Symmetrielinie liegt.

lul

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Aloha :)

Zur Berechnung des Schwerpunktes des Flächenstücks unter der Kurve$$y=4\sin(2x)\quad;\quad 0\le x\le\frac\pi2$$schreiben wir alle Punkte innerhalb dieses Flächenstücks als Menge:$$M=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,0\le x\le\frac\pi2\;\land\;0\le y\le4\sin(2x)\right\}$$

Die Gesamtfläche \(A\) unter der Kurve ist:$$A=\int\limits_0^{\pi/2}y(x)\,dx=4\int\limits_0^{\pi/2}\sin(2x)\,dx=4\left[-\frac12\cos(2x)\right]_0^{\pi/2}=4\left(\frac12+\frac12\right)=4$$

Damit lautet die Koordinate \(y_S\) des Schwerpunktes:$$y_S=\frac1A\iint\limits_Ay\,dx\,dy=\frac14\int\limits_{x=0}^{\pi/2}\int\limits_{y=0}^{4\sin(2x)}\!\!\!y\,dy\,dx=\frac14\int\limits_{x=0}^{\pi/2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_{y=0}^{4\sin(2x)}dx$$$$\phantom{y_S}=\frac14\int\limits_{x=0}^{\pi/2}8\sin^2(2x)\,dx=2\int\limits_{x=0}^{\pi/2}\sin^2(2x)\,dx=2\int\limits_{x=0}^{\pi/2}\frac12\left(1-\cos(4x)\right)\,dx$$$$\phantom{y_S}=\int\limits_{x=0}^{\pi/2}\left(1-\cos(4x)\right)\,dx=\left[x-\frac14\sin(4x)\right]_{x=0}^{\pi/2}=\frac\pi2$$

Die \(x\)-Koordinate des Schwerpunktes \(x_S=\frac\pi4\) ist wegen der Symmetrie geschenkt.

~plot~ 4*sin(2x)*(x>=0)*(x<=pi/2) ; x=pi/4 ; {pi/4|pi/2} ; [[-0,5|2|0|4,5]] ~plot~

von 128 k 🚀

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