Graph mit Parameter kann nicht Nullstellen als auch Extrema gleichzeitig besitzen

Question

Aufgabe: Die Funktion f_t(x) = x+$\frac{t*(t-2)}{x}$ ist gegeben, wobei der Parameter t jede reelle Zahl ausser 0 und 2 sein kann.

Zeigen Sie, dass der Graph von f_t(x) für kein t sowohl Nullstellen als auch Extrema gleichzeitig besitzt.

Answer 1

Es ist $f_t'(x)=1-\frac{t(t-2)}{x^2}$

Die Nullstellenbestimmung von $f_t$ führt auf $\pm\sqrt{-t(t-2)}$,

das Vorhandensein eines Extremums auf $\pm\sqrt{t(t-2)}$.

Wäre Beides vorhanden, so wäre

$-t(t-2)\geq 0$ und $t(t-2)\geq 0$, also

$t(t-2)=0$ und folglich $t=0\vee t=2$ im Widerspruch

zur Voraussetzung.

Comments

bei deinem g_t fehlt ein Faktor

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Du hast Recht. Schade eigentlich :(

Muss ich mir nochmal angucken.

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Habe den Fehler behoben. Danke nochmal für den Kommentar.

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Ich denke, dass ms Lösung die einfachste ist, wenn er meine Anmerkung berücksichtigt :

Eine Nullstelle x₀ muss die Bedingung f(x₀) = 0, also t(t-2) = -x₀² ≤ 0 erfüllen, was für die Parameterwerte zwischen 0 und 2 der Fall ist.
Eine Extremstelle x₁ muss die Bedingung f'(x₁) = 0, also t(t-2) = x₁² ≥ 0 erfüllen, was für die restlichen Parameterwerte der Fall ist.

Answer 2

NULLSTELLEN existieren für t(t-2)=-x2

Und Extreme (f'(x)=0) für t(t-2)=×2

Beides also nur für x=0 Also t=0 oder t=2

was aber ausgeschlossen ist.

Comments

Du solltest in der ersten Zeile (x bedeutet Nullstelle) und inder zweiten Zeile (x bedeutet Extremstelle) nicht denselben Buchstaben verwenden.

Es soll nämlich nicht nur gezeigt werdemn, dass keine Funktion an derselben Stelle gleichzeitig Nullstelle und Extremstelle (also x-Achse als Tangente) haben kann, sondern dass eine Funktion entweder Nullstellen oder Extremstellen hat, aber keine Funktion beides (auch nicht an verschiedenen Stellen).