Basen im Unterraum bestimmen

Question

Aufgabe:

(i) Bestimmen Sie zwei unterschiedliche Basen von

$L\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right)\right)$

als Unterraum des $\mathbb{F}_{5}^{3}$. (Nachweis der Basiseigenschaft!)

(ii) Geben Sie ein Element an, das nicht in diesem Unterraum enthalten ist. (Nachweisen!)

(iii) Bestimmen Sie die Koordinaten von $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$ bzgl. einer dieser beiden Basen.

Problem/Ansatz:

Ich benötige Hilfe bei der Lösung dieser Aufgabe, gerne auch etwas ausführlicher. Vielen Dank schonmal:)

Answer 1

$L\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right)\right)$

Die beiden Erzeugenden sind linear unabhängig; denn der Ansatz

$x\cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+y\cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right)=\vec{0}$

liefert die Gleichungen

x+2y=0 und x+3y=0 und x+4y=0

<=> x=-2y und -2y+3y=0 und -2y+4y=0

<=> x=-2y und y=0 und 2y=0

Also x=y=0.

Somit ist $\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right)$ schon mal eine Basis.

Und damit ist etwa $(-2)\cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$

zusammen mit $\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$

auch eine.

Und mit der 2. Basis zeigt man leicht, dass z.B.

$\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)$ nicht in L liegt.

Um $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$ mit der 1. Basis

darzustellen ist der Ansatz

$\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) =x\cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+y\cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right)$

Also

x+2y=1 und x+3y=2 und x+4y=3

<=>  x= 1-2y und x+3y=2 und x+4y=3

<=>  x= 1-2y und 1-2y+3y=2 und 1-2y+4y=3

<=>  x= 1-2y und y=1 und y=1

<=>  x= -1  und y=1 und y=1

Also sind (-1;1) die Koordinaten von $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$ bzgl. der 1. Basis.

Comments

Vielen Dank!

Eine kurze Verständnisfrage, hast du für die Berechnung der 2.Basis die (-2) willkürlich gewählt bzw. kann man diese willkürlich wählen oder ist dies die -2, die aus x = -2y hervorging?

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Und müssten die Koordinaten von (1,2,3) bezgl. der 1.Basis nicht (-1,1) lauten, da y = 1 und x = 1-2y -> x = -1 ?

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Ach ja, da hatte ich mich vertan. Ich korrigiere das.

Und die erste Frage: Ja, willkürlich gewählt damit

möglichst einfache Zahlen rauskommen.