0 Daumen
839 Aufrufe

Bildschirmfoto 2022-07-14 um 12.37.50.png

Text erkannt:

Seien X,Y X, Y zwei Zufallsvariablen, deren gemeinsame Verteilung folgender Tabelle entnommen werden kann:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline & & & Y Y & \\
\hline & & 3 & 4 & 6 \\
\hlineX X & 1 & 0.07 0.07 & 0.08 0.08 & 0.05 0.05 \\
\hline & 6 & 0.43 0.43 & 0.02 0.02 & 0.35 0.35 \\
\hline
\end{tabular}
Berechnen Sie die Varianz von X+Y X+Y !

Aufgabe:

Berechne die Varianz X+Y


Problem/Ansatz:

Ich verstehe die leider nicht und komme nur auf falsche Ergebnisse. Kann mir bitte jemand helfen?

Avatar von

2 Antworten

+1 Daumen

Aloha :)

Wir erstellen uns die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsvariable ZX+YZ\coloneqq X+Y

Y=3Y=4Y=6X=10,070,080,05X=60,430,020,35;Y=3Y=4Y=6X=1Z=4Z=5Z=7X=6Z=9Z=10Z=12\begin{array}{c} & Y=3 & Y=4 & Y=6\\\hline X=1 & 0,07 & 0,08 & 0,05\\X=6 & 0,43 & 0,02 & 0,35\end{array}\quad;\quad \begin{array}{c} & Y=3 & Y=4 & Y=6\\\hline X=1 & Z=4 & Z=5 & Z=7\\X=6 & Z=9 & Z=10 & Z=12\end{array}Wir legen beide Tabellen im Geiste übereinander und finden:Z=45791012p=0,070,080,050,430,020,35\begin{array}{c|rrrrrr}Z= & 4 & 5 & 7 & 9 & 10 & 12\\\hline p= & 0,07 & 0,08 & 0,05 & 0,43 & 0,02 & 0,35\end{array}

Damit können wir nun die Varianz σZ2\sigma^2_Z wie folgt bestimmen:<Z>=40,07+50,08+70,05+90,43+100,02+120,35=9,3\left<Z\right>=4\cdot0,07+5\cdot0,08+7\cdot0,05+9\cdot0,43+10\cdot0,02+12\cdot0,35=9,3<Z2>=420,07+520,08+720,05+920,43+1020,02+1220,35=92,8\left<Z^2\right>=4^2\cdot0,07+5^2\cdot0,08+7^2\cdot0,05+9^2\cdot0,43+10^2\cdot0,02+12^2\cdot0,35=92,8σz2=<Z2><Z>2=92,89,32=6,31\sigma_z^2=\left<Z^2\right>-\left<Z\right>^2=92,8-9,3^2=6,31

Die Varianz von (X+Y)(X+Y) beträgt also 6,316,31.

Avatar von 153 k 🚀
0 Daumen

Z = X + Y

E(Z) = 4·0.07 + 5·0.08 + 7·0.05 + 9·0.43 + 10·0.02 + 12·0.35 = 9.3

V(Z) = (4 - 9.3)2·0.07 + (5 - 9.3)2·0.08 + (7 - 9.3)2·0.05 + (9 - 9.3)2·0.43 + (10 - 9.3)2·0.02 + (12 - 9.3)2·0.35 = 6.31

Avatar von 493 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage