Berechnen Sie die Standardabweichung σS.

Question

Aufgabe:

Standardabweichung einer Strecke im Dreieck

In einem Dreieck ist eine Dreiecksseite 5,555 m und andere 3,333 m lang. Der eingeschlossene
Winkel hat 121,222 gon. Für die Standardabweichungen der Strecken gilt σS = ± 5 mm und für die
Standardabweichung des Winkels gilt σw = 0,001 gon.

Berechnen Sie die Standardabweichung σS.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand eventuell dazu den Rechenweg bereitstellen. Ich habe leider noch nie die Standardabweichung einer Strecke im Dreieck berechnet.

Vielen Dank

Answer 1

Die dritte Seite lässt sich über den Kosinussatz berechnen. Das Argument

Ich habe leider noch nie die Standardabweichung einer Strecke im Dreieck berechnet.

zieht hier nicht so richtig. Die Frage ist lediglich, ob du in einer rein mathematischen Formel der Form

$c=\sqrt{a^2+b^2-2abcos (γ)}$ die Standardabweichung von c berechnen kannst, wenn die Standardabweichungen der Eingangsgrößen a, b und γ bekannt sind.

Comments

wie gehe ich denn weiter vor, nachdem ich die fehlende Seite mit dem Cosinussatz berechnet haben.

Was wäre denn dann die Formel hierfür ?

Answer 2

Aloha :)

$$a=(5,555\pm0,005)\,\mathrm m\quad;\quad b=(3,333\pm0,005)\,\mathrm m\quad;\quad\gamma=(121,222\pm0,001)\,\text{gon}$$

Mit dem Cosinus-Satz ermittelst du die fehlende Seite$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\,\cos\gamma}\approx7,354152$$

Der Standard-Fehler folgt aus der Gauß'schen Fehlerfortpflanzung:$$(\delta c)^2=\left(\frac{\partial c}{\partial a}\,\delta a\right)^2+\left(\frac{\partial c}{\partial b}\,\delta b\right)^2+\left(\frac{\partial c}{\partial \gamma}\,\delta\gamma\right)^2$$$$\phantom{(\delta c)^2}=\left(\frac{2a-2b\cos\gamma}{2\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}}\,\delta a\right)^2+\left(\frac{2b-2a\cos\gamma}{2\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}}\,\delta b\right)^2+$$$$\phantom{(\delta c)^2}+\left(\frac{2ab\sin\gamma}{2\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}}\,\delta\gamma\right)^2$$$$\phantom{(\delta c)^2}=\left(\frac{a-b\cos\gamma}{c}\,\delta a\right)^2+\left(\frac{b-a\cos\gamma}{c}\,\delta b\right)^2+\left(\frac{ab\sin\gamma}{c}\,\delta\gamma\right)^2$$$$\phantom{(\delta c)^2}\approx3,26793\cdot10^{-5}$$Denke daran, den Messfehler des Winkels $(\delta\gamma=0,001\cdot\frac{\pi}{200})$ in $\mathrm{rad}$ umzurechnen.

Damit ist $\delta c\approx0,0057\approx0,006$, sodass:$$c=(7,354\pm0,006)\,\mathrm m$$

Comments

Vielen Vielen Dank, das habe ich gebraucht !