Integralberechnung mit Hilfe Residuensatz

Question

$\int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos (\omega x)}{x^{2}-2 x+2} d x \quad$ Verwende $f(z)=\frac{e^{i \omega z}}{z^{2}-2 z+2}$ für den Integranden

Das hier wäre der erste Schritt:

Wir wählen als geschlossenen Integationsweg $\gamma$ einen Halbreis R>0 in der Halbebene Im $\geq 0$

Pole: $z_{1,2}=\frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2}=\frac{2 \pm 2 i}{2} \longrightarrow z_{1}=1+i$ (innerhalb), $z_{2}=1-i$ (außerhalb)



mögliches Endergebnis:

$\operatorname{Res}\left(f_{,} z_{1}\right)=\frac{e^{-w} e^{i \omega}}{2 i}$

$\left.\int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i \omega z}}{z^{2}-2 z+2} d z=2 \pi i \operatorname{Res}\left(f, z_{1}\right)=Re^{} \{\pi e^{-\omega} e^{i \omega}\right\}\}=\pi e^{-\omega} \cos \omega^{}$

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen, wie man hier vorzugehen hat?

Answer 1

Hallo,

folgender Weg:

Es wird ein Halbkreis R>0 in der oberen Halbebene gewählt.

Damit liegt 1+i innerhalb des Halbkreises und 1-i ausserhalb.

Comments

Du hast einen Halbkreis gezeichnet, der durch -1 und 1 geht, also den Radius 1 hat. Dann sagst Du, z1 liege innerhalb dieses Halbkreises? Das verstehe ich nicht.

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Jetzt hast Du den Halbkreis geändert. Was ist denn mit dem Beitrag von diesem Halbkreis?

Das Residuum gibt doch den Wert des Integrals für den ganzen Weg, gebraucht wird nur der Beitrag auf der Achse?

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Was ist denn mit dem Beitrag von diesem Halbkreis?

Kann man nicht die Standardabschätzung verwenden? Sollte mMn gegen 0 gehen für R→∞

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Eben, das sollte doch wenigstens in der Lösung erwähnt werden. Fragesteller müsste dann wissen, ob das besprochen worden ist und zitiert werden kann oder als Teil der Aufgabenstellung bewiesen werden muss....

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Das müssen wir zum Glück nicht beweisen, das können wir als gegeben nehmen.

Super vielen Dank für diese ausführliche und nachvollziehbare Lösung!!

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Was ich noch nicht verstehe, ist warum man für das Endergebnis den Imaginärteil einfach weglässt. Warum macht man das?

Oder was soll das letzte Bild, "Vergleich Realteil" bedeuten?

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da in diesem Fall Im >=0 gefordert wird, ist das Sinus -Integral nicht 0.

Durch Vergleich der Cos Anteile auf der linken und rechten Seite findet man das Ergebnis.

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Ah, top!
Nochmal vielen Dank, ist ein super Rechenweg

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Text erkannt:

$\int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin (w x)}{x^{2}-2 x+2} d x=\pi e^{-|w|} \sin (w)$

Der Imaginärteil ist nicht =0