Partialsumme von komplexen Zahlen, kann ich beim Übergang zur Reihe, den Limes vor dem Konjugieren bestimmen?

Question

Aufgabe:

Sei z eine komplexe Zahl und z* das komplex-konjugiert, es gilt exp(z)=exp(z*).

Beweis:

Ich habe die Rechenregeln für Multiplikation und Addition mehrerer komplexer Zahlen genutzt :

\(S_n(z)=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{z^k}{k!}=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{((z^*)^*)^k}{k!}=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{((z^*)^k)^*}{k!}=(\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{(z^*)^k}{k!})^ *= (S_n(z^*))^*\) 

Ich habe also gezeigt, dass die Partialsummen identisch sind, kann ich jetzt einfach davon ausgehen, dass ich den Limes von \(S_n(z^*)\) vor dem Konjugieren berechnen kann:

\(exp(z)=\lim\limits_{n\to\infty}S_n(z)=\lim\limits_{n\to\infty}(S_n(z^*))^*=(\lim\limits_{n\to\infty}S_n(z^*))^*=(exp(z^*))^*\)

Bin hier sehr unsicher, finde auch nichts in meinem Skript dazu.

Comments

es gilt exp(z)=exp(z*).

Du meinst sicher \(\exp(z)^*=\exp(z^*)\) ?

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Jein, eigentlich meinte ich es gilt exp(z)=(exp(z*))*, ist aber quasi die identische Aussage.

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Ja. Das bedeutet dasselbe.

Answer 1

Benutze die Tatsache, dass \(z\mapsto z^*\) stetig ist und daher mit

Limiten vertauschbar.

Comments

Danke für deine Antwort :)

Im Skript wurde die Stetigkeit noch nicht besprochen, keine Ahnung wie man es sonst rechtfertigen soll.

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Die Stetigkeit von \(x\mapsto x^*\) ist trivial:

\(|x ^*-y^*|=|(x-y)^*|=|x-y|\). Zu vorgegebenem \(\epsilon>0\) kann man also

\(\delta=\epsilon\) wählen: sogar gleichmäßige Stetigkeit.